生成函数（母函数）

定义

• 对于一个数列 \(a_0,a_1,a_2,a_3\cdots\),定义 \(G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \cdots\) 为其母函数（\(x\)充当形式参数没有意义）。
• 母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。
• 母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

例题引入

一、

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
\(1\)个\(1\)克砝码可以看成\(1+x^1\)，\(1\)表示不取，\(x1\)表示取一个，以下同理。
\(1\)个\(2\)克砝码可以看成\(1+x^2\)
\(1\)个\(3\)克砝码可以看成\(1+x^3\)
\(1\)个\(4\)克砝码可以看成\(1+x^4\)
构造母函数 \(G(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^{10}\)
在这个函数中，若指数表示可称出重量，系数表示方案数，则可以看出重量为\(3\)克、\(4\)克、\(5\)克、\(6\)克、\(7\)克的方案数均有两种，而重量为\(1\)克、\(2\)克、\(8\)克、\(9\)克、\(10\)克的方案只有\(1\)种。

二、

掷两只骰子（每只点数为1~6之一），可掷出的点数中，哪个点数的方案数最多?
用\((x+x^2+…+x^6)\)表示一只骰子的投掷过程，两只骰子的投掷可构造母函数 \(G(x)=(x+x^2+…+x^6)(x+x^2+…+x^6) = x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+6x^7+5x^8+4x^9+3x^{10}+2x^{11}+x^{12}\)

标签：10,3x,函数,重量,2x,生成,砝码
来源： https://www.cnblogs.com/kroyosh/p/16643489.html