线性代数 | Jordan 标准型的笔记
作者:互联网
内容概述:
- 把方阵 A 的特征多项式 \(c(λ)=|λE-A|\) 展开成 \(c(λ)=\sum_ia_i\lambda^i\) 的形式,然后使用神乎其技的证明,得到 \(c(A)=O\),特征多项式是 A 的化零多项式。【Hamilton-Cayley 定理】
- 定义 A 的最小多项式为 \(m(λ)=\Pi_i(λ-λ_i)^{c_i}\),即次数最低的、能使 m(A)=0 的多项式。显然,m(λ) 是 c(λ) 的因式。
- 如果 m(λ) 里所有 \(c_i\) 都为零,则 A 可相似对角化。
- 如果不都为零,那么对特征值 \(λ_i\),要在相似矩阵里放 \(c_i\) 个 Jordan 标准型。具体怎么放,要枚举所有可能 + 看 \(λ_iE-A\) 幂次的秩是否符合。
Jordan 标准型长这样:
![img](https://gimg2.baidu.com/image_search/src=http%3A%2F%2Fimg.doc.wendoc.com%2Fpic%2Fa2d1fa96b6f0967b682371b8%2F1-810-jpg_6-1080-0-0-1080.jpg&refer=http%3A%2F%2Fimg.doc.wendoc.com&app=2002&size=f9999,10000&q=a80&n=0&g=0n&fmt=auto?sec=1663753485&t=145f07dbfa0d0c28e9d8e410ad956034)
Jordan 矩阵由 Jordan 块组成,Jordan 标准型就是与 A 相似的 Jordan 矩阵:
![img](https://gimg2.baidu.com/image_search/src=http%3A%2F%2Fimg-blog.csdnimg.cn%2F20201220203730478.png%3Fx-oss-process%3Dimage%2Fwatermark%2Ctype_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk%2Cshadow_10%2Ctext_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ5NTAz%2Csize_16%2Ccolor_FFFFFF%2Ct_70&refer=http%3A%2F%2Fimg-blog.csdnimg.cn&app=2002&size=f9999,10000&q=a80&n=0&g=0n&fmt=auto?sec=1663753468&t=36547bd8ae35c085a6ba9fc0a04e29a7)
标签:多项式,矩阵,因式,标准型,线性代数,Jordan,神乎其技 来源: https://www.cnblogs.com/moonout/p/16613705.html