小波变换第2讲：尺度函数与小波函数

Content
1 尺度函数
1.1 Harr尺度函数
1.2 尺度函数构成的空间
1.3 尺度函数的性质
1.3.1 V j V_jV
j
​
空间的正交基
1.3.2 嵌套子空间
1.3.3 交空间和并空间
1.3.4 尺度函数递归等式
2 小波函数
2.1 Harr小波函数
2.2 小波函数构成的空间
2.3 小波函数的性质
2.3.1 小波函数子空间之间的正交性
2.3.2 小波函数与尺度函数空间的关系
2.3.2.1 正交补空间
2.3.2.2 子空间之间的关系
2.3.3 小波函数递归等式
参考文献
小波变换系列
小波变换第1讲：Why wavelet？
小波变换第2讲：尺度函数与小波函数

前文小波变换第1讲：Why wavelet？介绍了FT以及STFT在时频分析方面的缺陷，本文将介绍小波变换的主体部分。

小波变换(WT)方面的不同书籍，涉及到的一些定义不尽相同，对理解小波造成了一些困扰。本文主要参考的是冈萨雷斯 数字图像处理 第3版第7章的有关内容。

本文中的尺度函数选取Haar函数。

1 尺度函数

 

 

 1.1 Harr尺度函数

Harr尺度函数及图示如下：

 

 

 

  对该函数进行缩放或平移：

 

 

 

 

 

1.2 尺度函数构成的空间

 

 

1.3 尺度函数的性质

 

 

1.3.2 嵌套子空间

 

 

 

 

1.3.3 交空间和并空间

 

 

1.3.4 尺度函数递归等式

 

 

 

 

2 小波函数
小波函数(wavelet function)，通常记作ψ ( t ) \psi(t)ψ(t)，又称为mother wavelet。

小波函数与尺度函数有联系也有区别。

2.1 Harr小波函数
Harr小波函数及图示如下：

 

 

 

 2.2 小波函数构成的空间

 

 

2.3 小波函数的性质
2.3.1 小波函数子空间之间的正交性

 

 

2.3.2 小波函数与尺度函数空间的关系
2.3.2.1 正交补空间

 

 

2.3.2.2 子空间之间的关系

 

 

 

 

2.3.3 小波函数递归等式

 

 

参考文献
[1] Why wavelet？
[2] 冈萨雷斯 数字图像处理 第3版
[3] http://math.bu.edu/people/mkon/ma717/L12HaarWavelet.pdf
[4] http://www.ws.binghamton.edu/fowler/EECE523/Ch_15_2%20Wavelet%20Example.pdf
[5] https://slideplayer.com/slide/7537671/
[6] https://mathworld.wolfram.com/HaarFunction.html
[7] 知乎：通过Haar小波认识离散小波变换
[8] 哈工大，冉启文，小波变换与分数傅里叶变换理论及应用
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标签：波函数,函数,1.3,变换,尺度,空间,2.3
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