编辑距离

题目链接

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题目内容

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数  。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符


示例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')
示例 2：

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')


提示：

0 <= word1.length, word2.length <= 500
word1 和 word2 由小写英文字母组成

思路

• 动态规划，二维dp数组，dp[i][j]表示word1中的前i个字符组成的字串和word2中前j个字符组成的字串的编辑距离。
• 初始化：dp[i][0] = i and dp[0][j] = j，表明任何字符串和空串的编辑距离都是该串自身的长度（全部删光）
• 状态转移方程：

1. 如果word1[i] == word2[j]，说明当前两个字符不用做任何操作，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
2. 如果word1[i] != word2[j]，说明当前两个字符处需要做变动操作。那么

dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1

上式有一个相对难理解的点，也是本篇想表达的重点。下面会更深入解答。点这里跳转

代码

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int size1 = word1.size();
        int size2 = word2.size();
        vector<vector<int>> dp(size1+1, vector<int>(size2+1));
        // 任何字符串和空串的编辑距离都是该串自身的长度（全部删光）
        for (int i = 0; i <= size1; i ++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int j = 0; j <= size2; j ++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        for (int i = 1 ; i <= size1 ; i ++) {
            for (int j = 1 ; j <= size2; j ++) {
                // 匹配的情况
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
                // 不匹配的情况
                else {
                    dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1), dp[i - 1][j - 1] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[size1][size2];
    }
};

失配时dp数组的转移怎么理解

• 根据题意，当word1[i - 1] != word2[j - 1]时，我们可以选择增加，删除或者是替换当前元素，对两个字符串进行调整。
• 删除：
• 1）如果删除word1[i - 1]，dp[i][j]等于【计算word1中第 1 到第 i-1 个元素组成的字串和word2中第 1 到第 j 个元素组成的字串之间的编辑距离】，然后增加1（删除word1[i]的操作）
• 2）如果删除word2[j - 1]，dp[i][j]等于【计算word1中第 1 到第 i 个元素组成的字串和word2中第 1 到第 j-1 个元素组成的字串之间的编辑距离】，然后增加1（删除word1[i]的操作）。也就是：

    // 在操作为删除的情况下
    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

• 替换：word1[i - 1]和word2[j - 1]经过一个替换操作变成了一样的字母，那么只需要拿到这两个字母前面的字串的编辑距离加1即可，如下：

    // 在操作为替换的情况下
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

• 增加：这个是本题使用动态规划方法最难理解的一个点。根据代码可以发现实际上是没有显式的去计算增加操作的，等于是忽略了这种操作，所以这是为什么？一张图就可以说明问题。
  
• 从图中我们可以看出，在word1中添加元素c的目的，为的是通过一个操作去消除word2中当前失配的这个字母word2[j]，该操作等于在word2中删除元素word2[j]，同时两个操作dp数组（编辑距离）的计算公式也无异。
• 同理，由于操作的对称性，在word2中添加元素也等价于在word1中删除元素。
• 所以，最终的状态转移方程为:

dp[i][j] = min(
	min(
		dp[i - 1][j] + 1, // 在word1中删除word1[i]，或者在word2[j]后方中添加word1[i]元素
		dp[i][j - 1] + 1 // 在word2中删除一个元素word2[j]，或者在word1[i]后方添加word2[j]元素
	),
	dp[i - 1][j - 1] + 1 // 将word1[i]替换为word2[j]或者将word2[j]替换为word1[i]
);

标签：元素,删除,动规,替换,word1,72,word2,leetcode,dp
来源： https://www.cnblogs.com/LeisureLak/p/16581822.html