动态规划

动态规划针对满足特定条件的一类问题，对各状态维度进行分阶段、有顺序、无重复、决策性的遍历求解。————《算法竞赛进阶指南》

总所周知，动态规划（DP，DynamicProgramming）有基本的三要素：“阶段”、“状态”、“决策”，而能用动态规划解决的问题则需具备三个基本条件：“子问题重叠性”、“无后效性”、“最优子结构性质”。

其中，“阶段”指原问题能转化为多个重复的子问题（即“子问题重叠性”），每个子问题都是一个阶段，而除了最初的阶段，每个阶段都由前面的一个或多个阶段得出，而前面已完成的阶段应不受后面的阶段的影响，只由更前面的阶段得出（即“无后效性”）；“状态”一般指各阶段下的解，而问题的答案也一般由最后的一个或多个阶段的状态得出，一般来说，下一阶段的最优解能由前面阶段的最优解得出（即“最优子结构性质”）；“决策”指有前面的阶段得出后面阶段的方法，可以分为两种：有前面阶段得出当前阶段或由当前阶段更新后面阶段。

动态规划中最为重要的就是“动态转移方程”，只要能得出DP的计算过程，一般动态规划问题的难点就已被解决，当然问题的边界，具体的形式与实际的目标也随着问题的种类而有着诸多不同，这也是DP问题中需要注意的细节。

DP问题有“线性DP”、“背包”、“区间DP”、“树形DP”等多种类型，优化手段也多种多样，如“倍增”、“状压”等。

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