微积分偷卷笔记

1.考虑用无穷序列的趋近表达实数

1.1 趋近于 \(\bf 0\)

比如，\(\dfrac 11,\dfrac 12,\dfrac 13,\dots \to 0\)（图为 \(y=\dfrac 1{\lfloor 20x\rfloor}\)）

这个序列趋近 \(0\)，我们应该给一个定义了。有时候我们会说这个序列的最后一项是 无穷小量 \(\boldsymbol \varepsilon\)，他小于任意一个正实数。
但是这数列实际上没有最后一项，考虑我们将 \(\varepsilon\) 强制转到实数的结果：
\(\varepsilon = \dfrac 1\pi \to a_{4} \le \varepsilon\)
\(\varepsilon = \dfrac 1{{\color{Red}2}^{\color{Blue}20}} \to a_{{\color{Red}2}^{\color{Blue}20}} \le \varepsilon\)
发现 \(\varepsilon = x \to a_{\lceil \frac 1x \rceil} \le \varepsilon(x>0)\)
这样的 \(a_i\) 始终存在，或者说，对于任意小的正实数，数列里都有一项比他小，于是他不可能趋于任何一个正实数（因为没有一个正实数最小）。
但是 这里有个大坑点，考虑数列 \(0,1,1,1,1,\dots\)，显然不趋近于 \(0\)，所以需要保证这一项后面的每一项都要\(\le \varepsilon\)
于是我们可以给出 数列趋向于 \(\boldsymbol 0\) 的定义：

\[\forall \varepsilon \in (0,+\infty) [\exists i \in \mathbb N^+ [\forall j \ge i \wedge j \in \mathbb N^+ [|a_j| \le \varepsilon]]] \iff a_\infty = 0 \]

练习 \(1.1.1\) \(a_i := 0\)，证明 \(a_\infty = 0\)
证：\(i=1\)。
练习 \(1.1.2\) \(a_i := \dfrac 2x\)，证明 \(a_\infty = 0\)
证：\(i=\lceil \frac 2x \rceil\)。
练习 \(1.1.3\) \(a_i := -\dfrac 1x\)，证明 \(a_\infty = 0\)
证：\(i=\lceil \frac 1x \rceil\)。
练习 \(1.1.4\) \(a_i := \dfrac 1{x^2}\)，证明 \(a_\infty = 0\)
练习 \(1.1.5\) \(a_i := 1-\dfrac 1x\)，证明 \(a_\infty \ne 0\)
练习 \(1.1.6\) \(a_\infty = b_\infty = 0,c_i = a_i+b_i\)，证明 \(c_\infty = 0\)
练习 \(1.1.7\) \(a_\infty = b_\infty = 0,c_i = a_i-b_i\)，证明 \(c_\infty = 0\)
练习 \(1.1.8\) \(a_\infty = b_\infty = 0,c_i = a_ib_i\)，证明 \(c_\infty = 0\)
练习 \(1.1.9\) \(a_\infty = 0,c_i = ka_i (k \in \mathbb R)\)，证明 \(c_\infty = 0\)
练习 \(1.1.10\) \(a_\infty = 0,c_i = |a_i|\)，证明 \(c_\infty = 0\)

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来源： https://www.cnblogs.com/lhx-oier/p/calculus.html