P6406 [COCI2014-2015#2] Norma & ZLOJ 练习58 D

written on 2022-08-03

也是一道套路题，但是之前遇到得不多，所以这次总结一下。

这类题目要求统计所有区间的分数值之和。显然暴力的思路，即枚举所有的区间是不可行的。

先看一下玄学的暴力优化，这种大步跳的方法可以有效地降低时间，但是很玄学，比赛的时候可以用这种方式骗分，因为性价比很高/kk

接着看一下正解，统计所有区间和的问题，有两种一般的方法，一是用数据结构维护相关信息，尝试化出式子。二是采用分治的方法，分治处理每个子区间，然后枚举左/右端点，处理出跨区间的答案。第二种方法的总时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。 具体证明尚未掌握、、

具体到本题，思考后发现第一种方法行不通，于是采用法二。具体的就不讲了，需要分类讨论，加上预处理，前缀和等优化，细节较多。不过分治的好处在于思路很清晰，目标很明确，这样虽然细节多但是还是很可写的，可以结合代码注释自己看看。

PS：经过 CPP 的点拨，总算是了解了一些东西的相通之处。想想点分治，不也就是树上的全路径统计嘛！所以分治这种算法，虽然时间复杂度玄学，但是作为一种技巧还是很有趣的。

Upd：在机房神佬的帮助下，这里补充一下线性分治的时间复杂度简单证明：

设原区间长度为 \(n\)，显然分治将原区间对半分治，那么最多递归 \(\log n\) 层，然后处理每一层的时间均为 \(O(n)\)，因此总时间复杂度即为 \(O(n\log n)\)。

%%%%%%% @伟大的王夫子

CODE

#include<bits/stdc++.h>
#define N 500005
typedef long long ll;
const ll mod=1e9;
using namespace std;
int n,a[N];
ll ans;
int Mx[N],Mn[N];
int find(int x,int l,int r,bool flag)
{
	int res=r+1;
	while(l<=r)
	{
		int mid=l+r>>1;
		if(!flag) if(Mx[mid]>x) r=mid-1,res=mid;
		else l=mid+1;
		else if(Mn[mid]<x) r=mid-1,res=mid;
		else l=mid+1;
	}
	return res;
}
ll sum(int l,int r){return 1ll*(l+r)*(r-l+1)/2%mod;}
ll s1[N],s2[N],s3[N],s4[N],s5[N],s6[N];
void solve(int l,int r)
{
	if(l==r) return (void)(ans=(ans+1ll*a[l]*a[l]%mod)%mod);
	int mid=l+r>>1;
	solve(l,mid),solve(mid+1,r);
	//分治计算，计算一定包含 mid,mid+1 的区间值之和 
	//枚举左端点 
	Mx[mid]=0,Mn[mid]=1e9;
	s1[mid]=s2[mid]=s3[mid]=s4[mid]=s5[mid]=s6[mid]=0;
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)
	{
		Mx[i]=max(Mx[i-1],a[i]),Mn[i]=min(Mn[i-1],a[i]);
		s1[i]=(s1[i-1]+Mx[i])%mod,s2[i]=(s2[i-1]+Mn[i])%mod;
		s3[i]=(s3[i-1]+1ll*Mx[i]*i%mod)%mod,s4[i]=(s4[i-1]+1ll*Mn[i]*i%mod)%mod;
		s5[i]=(s5[i-1]+1ll*Mx[i]*Mn[i]%mod*i%mod)%mod,s6[i]=(s6[i-1]+1ll*Mx[i]*Mn[i]%mod)%mod;
	}
	//维护前缀最值，则 mx 单调递增，mn单调递减 
	int mx=0,mn=1e9;
	for(int i=mid;i>=l;i--)
	{
		mx=max(mx,a[i]),mn=min(mn,a[i]);
		//找到 mid~r 中第一个大于 mx 的位置 pos1，以及小于 mn 的位置 pos2
		int pos1=find(mx,mid+1,r,0),pos2=find(mn,mid+1,r,1);
		//case 1
		if(min(pos1,pos2)-1>=mid+1) ans=(ans+1ll*mx*mn%mod*sum(mid+1-i+1,min(pos1,pos2)-i))%mod;
		//case 2,此时mx或mn动态变化 
		if(pos1<pos2) ans=(ans+1ll*mn*(((s3[pos2-1]-s3[pos1-1]+mod)%mod-(i-1)*((s1[pos2-1]-s1[pos1-1]+mod)%mod)%mod+mod)%mod)%mod)%mod;
		else ans=(ans+1ll*mx*(((s4[pos1-1]-s4[pos2-1]+mod)%mod-(i-1)*((s2[pos1-1]-s2[pos2-1]+mod)%mod)%mod+mod)%mod)%mod)%mod;
		//case 3,此时mx,mn均动态变化 
		if(max(pos1,pos2)!=r+1) ans=(ans+(((s5[r]-s5[max(pos1,pos2)-1]+mod)%mod-(i-1)*(s6[r]-s6[max(pos1,pos2)-1])+mod)%mod+mod)%mod)%mod;
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	solve(1,n);
	printf("%lld\n",ans);
}

标签：COCI2014,58,int,Norma,分治,mid,mn,mx,pos1
来源： https://www.cnblogs.com/Freshair-qprt/p/16549359.html