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MIT_单变量微积分_19

2019-03-18 18:51:37 作者：互联网

1.定积分在对数和几何上的应用

FTC2:
$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)d(t)=f(x)\\ y'=\frac{1}{x};L(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}\\ L'(x)=\frac{1}{x};L(x) = \int _1^1\frac{dt}{t}=0\\ L'' = -\frac{1}{x^2}\\ L(1) = 0; L'(1)=1$ dxd∫axf(t)d(t)=f(x)y′=x1;L(x)=∫1xtdtL′(x)=x1;L(x)=∫11tdt=0L′′=−x21L(1)=0;L′(1)=1
$L(e) = 1$ L(e)=1，
在这里插入图片描述
为什么 $L(x) < 0, x < 1$ L(x)<0,x<1???

L(1) = 0 , L递增
$L(x) = \int_1^x\frac{dt}{t}=-\int_x^1\frac{dt}{t}$ L(x)=∫1xtdt=−∫x1tdt

$L(ab)=L(a)+L(b)\\ \int_1^{ab}\frac{dt}{t}=\int_1^{a}\frac{dt}{t}+\int_a^{ab}\frac{dt}{t}\\ 由于 \int_a^{ab}\frac{dt}{t}=\int_1^b\frac{adu}{au}=\int_1^b\frac{du}{u}=L(b)\\ t = au, dt = adu$ L(ab)=L(a)+L(b)∫1abtdt=∫1atdt+∫aabtdt由于∫aabtdt=∫1bauadu=∫1budu=L(b)t=au,dt=adu

Ex: $\int_0^xe^{-t^2}dt$ ∫0xe−t2dt
$F'(x)=e^{-x^2},F(0)=0, F'(0)=e^{0^2}=1\\ F''=-2xe^{-x^2}\left\{\begin{matrix} <0&,x > 0 \\ >0&,x<0 \end{matrix}\right.$ F′(x)=e−x2,F(0)=0,F′(0)=e02=1F′′=−2xe−x2{<0>0,x>0,x<0
如图所示： $F''$ F′′图像，虚线为 $y=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ y=2π,为奇函数， $F(-x)=-F(x)$ F(−x)=−F(x)

在这里插入图片描述
如图所示： $F'=e^{-x^2}$ F′=e−x2

在这里插入图片描述
$\lim_{x \to \infty} F(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ limx→∞F(x)=2π

$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt=\frac{2}{z}$ erf(x)=π2∫0xe−t2dt=z2

扩展的特殊函数：

$Li(x)=\int_2^x\frac{dt}{ln t} \approx primes(素数个数) < x$ Li(x)=∫2xlntdt≈primes(素数个数)<x
$\left.\begin{matrix} C(x)=\int_0^xcos(t^2)dt& \\ S(x)=\int_0^xsin(t^2)dt& \end{matrix}\right\}菲涅耳积分\\ H(x)=\int_0^x\frac{sint}{t}dt(傅里叶级数)$ C(x)=∫0xcos(t2)dtS(x)=∫0xsin(t2)dt}菲涅耳积分H(x)=∫0xtsintdt(傅里叶级数)

Ex:关于曲线积分围城的面积
在这里插入图片描述
$Area=\int_a^b(f(x)-g(x))dx$ Area=∫ab(f(x)−g(x))dx

Ex求 $x=y^2$ x=y2和 $y=x-2$ y=x−2围成的面积。
在这里插入图片描述

（垂直切分）
$Area=\int_0^1(\sqrt{x}-(-\sqrt{x}))dx+\int_1^4(\sqrt{x}-(x-2))dx=...$ Area=∫01(x−(−x))dx+∫14(x−(x−2))dx=...
（横向切分）

$Area=\int_{-1}^2((y+2)-y^2)dy=(\frac{y^2}{2}+2y-\frac{y^3}{3})|_{-1}^2=\frac{9}{2}$ Area=∫−12((y+2)−y2)dy=(2y2+2y−3y3)∣−12=29

标签：frac,19,微积分,int,lt,&#,x27,dt,MIT
来源： https://blog.csdn.net/qq_38386316/article/details/88645998