BZOJ1409 Password 题解

\(\mathrm{Describe.}\)

一种新的密码被研发出来了。想使用密码，首先需要用种子 \(\rm p\) 生成加密序列。具体的：

\(\rm E_i= p\ \ \ \ i=1,2\)

\(\rm E_i=E_{i-1}\times E_{i-2}\ \ \ i>2\)

之后，每次给出两个数 \(\rm n,q\)，输出加密后的数字 \(\rm d\)。具体的加密方法为：

\(\rm d=E_n\ \%\ q\)

其中，\(\rm 0<n,q<2^{31}，0<q<p，0<m\leq 5000\)

\(\mathrm{Solution.}\)

首先观察发现加密序列的指数是斐波那契数列，即，生成的序列形如：

\(\rm p^1,p^1,p^2,p^3,p^5......\)

又因为 \(\rm n\) 是 \(2^{31}\) 的量级，所以可以使用矩阵快速幂加速求出斐波那契数列。但是即使是这样的话这个指数本身依然大的离谱，无法接受。继续观察最终加密方法的数学式子，可以发现这个式子可以使用欧拉降幂处理。其中欧拉降幂：

\(\rm a^b\ \%\ c=a^{b\%\phi(c)+\phi(c)}\ \%\ c\)

所以我们可以把在求斐波那契数列时的 \(\rm mod\) 设置为 \(\phi(c)\)，这样求出来的 \(\rm p\) 的指数就合理可计算了。

之后写个快速幂就好了。

\(\mathrm{Code.}\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int prime[N],cnt;
bool vis[N];
int m,p,q,n,MOD;
struct Matrix
{
	int mat[2][2];
}fib,final;

Matrix operator*(const Matrix &x,const Matrix &y)
{
	Matrix tmp;
	for(int i=0;i<=1;i++)
		for(int j=0;j<=1;j++)
			tmp.mat[i][j]=0;
	
	for(int i=0;i<=1;i++)
		for(int j=0;j<=1;j++)
			for(int k=0;k<=1;k++)
				tmp.mat[i][j]+=x.mat[i][k]*y.mat[k][j]%MOD,
				tmp.mat[i][j]%=MOD;
	return tmp;
}

int qpow(int a,int n)
{
	int ans=1;
	while(n)
	{
		if(n&1) ans=ans*a%q;
		a=a*a%q;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}

int read()
{
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')
	{
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
void Prime_Init()
{
	for(int i=2;i<=N-5;i++)
	{
		if(!vis[i]) prime[++cnt]=i;
		for(int j=1;i*prime[j]<=N && j<=cnt; j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=true;
			if(!(i%prime[j])) break;
		}
	}
}
int getphi(int n)
{
	int ans=n;
	for(int i=1;prime[i]*prime[i]<=n;i++)
	{
		while(!(n%prime[i]))
		{
			ans=ans/prime[i]*(prime[i]-1);
			while(!(n%prime[i])) n/=prime[i];
		}
	}
	if(n!=1) ans=ans/n*(n-1);
	return ans;
}
signed main()
{
	Prime_Init();
	m=read(),p=read();
	while(m--)
	{
		n=read(),q=read();
		int phiq=getphi(q);
		MOD=phiq;
		fib.mat[0][0]=fib.mat[0][1]=fib.mat[1][0]=1;
		fib.mat[1][1]=0;
		final.mat[0][0]=final.mat[1][1]=1;
		final.mat[1][0]=final.mat[0][1]=0;
		
		while(n)
		{
			if(n&1) final=final*fib;
			fib=fib*fib;
			n>>=1;
		}
		
		int final_ans=qpow(p,final.mat[0][1]%MOD+MOD)%q;
		printf("%d\n",final_ans);
	}
	return 0;
}

标签：加密,Matrix,int,题解,BZOJ1409,rm,Password,final,const
来源： https://www.cnblogs.com/juruo-wsy/p/16529127.html