LGPP4067口胡

直接计算太困难了，考虑转化。

可以转化为原储能表的和减去原储能表中不大于 \(k\) 的部分，然后减去数量乘上 \(k\) 即可。零次和与一次和可以同时统计。

原储能表的元素和非常好算啊，直接拆位即可，复杂度 \(O(\log n)\)。

我们假设存在一个 \(t\) 满足 \(2^{t-1}<k\leq 2^t\)。

将行列分为长度为 \(2^t\) 的若干段，发现每一行只有第 \(i\) 行对应第 \(i\) 列才有可能小于 \(k\)。（因为只有此时高位异或才为 \(0\)）

而让一个数去异或 \([0,2^t-1]\) 中的所有数，得到的结果一定还是 \([0,2^t-1]\) 中的所有数（对于 \(a\ne b\) 有 \(a\texttt{ xor } x\ne b\texttt{ xor } x\)）。于是只要两端中有一段是整的那么贡献都非常好算。

我们还需要考虑的是不完整的段对不完整的段的贡献。

长度不是 \(2\) 的幂好像就没有优秀的性质了，于是我们直接把这两段都拆成 \(\log k\) 段长度为 \(2\) 的幂的段。

考虑两个区间 \([a\times 2^x,(a+1)\times 2^x-1]\) 和 \([b\times 2^y,(b+1)\times 2^y-1]\) 的答案。（方便计算有 \(x>y\)）

如果高位异或起来大于 \(k\) 的对应的高位，那么贡献显然为 \(0\)。

如果高位异或起来小于 \(k\) 的对应的高位那么贡献显然是 \(2^{x+y}\)。

考虑到 \(b\) 的 \([y,x-1]\) 位异或到第一个区间上其实是没有任何影响的（因为原本是哪些数那还是哪些数），剩下的部分的贡献就是 \((k\bmod 2^{x})\times 2^y\)。

标签：xor,高位,储能,贡献,异或,times,LGPP4067
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