题解 I. Ice Drinking "蔚来杯"2022牛客暑期多校训练营3

传送门

【分析】

先推一波公式：

答案 \(res\) 显然有公式：（其中 \(D_n\) 表示 \(n\) 个元素全部错排的方案数）

\(\begin{aligned}res&={1\over n!}\sum_{x=0}^n\dbinom n x x^kD_{n-x}\\&=\sum_{x=0}^n{x^k\over x!}\cdot {D_{n-x}\over (n-x)!}\end{aligned}\)

由于错排问题有公式：\(\displaystyle D_n=\lfloor{n!\over e}\rfloor=n!\cdot \sum_{i=0}^n{(-1)^i\over i!}\)

因此答案为：\(\displaystyle res=\sum_{x=0}^n {x^k\over x!}\cdot \sum_{i=0}^{n-x} {(-1)^i\over i!}\)

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