完美的集合

来自IOI2018中国国家候选队论文的一道关于 “点数-边数” 容斥的例题。

题意:

给出一棵树，每个点有重量和价值，每条边有边权。

考虑选出一个点的子集 \(S\)，满足这些节点重量之和 \(\leq M\)且构成一个树上连通块，

把那些价值和最大的集合S称为完美的集合。

如果两个点 \(x, y\) 满足 \(dist(x, y) ∗ v_y \leq Max\)，则 \(x\) 可以对 \(y\) 进行测试。

问有多少种方案在所有完美的集合中选出 \(k\) 个，使得在它们的交中存在一个点 \(x\)，能对这些集合中所有点进行测试。

分析：

不妨设已经选出 \(k\) 个完美的集合，考虑 \(x\) 点存在需要满足的条件。

1. 显然 \(x\) 是 \(k\) 个集合中的一个点，也就是 \(x \in \cap S_i\)。

2. 考虑 \(y \in \cup S_i\), 以及 \(y\) 能被测试到的点集 \(T_y\), 能发现 \(x \in \cap T_y\)。

记 $U =(\cap S_i) \cap (\cap T_y) $, 也就是说 \(x \in U\)。

假如直接对每个点 \(x\) 算包含它的 \(k\) 个完美集合方案数，那么上述的一种方案会被计算 \(|U|\) 次。

这时考虑对一种方案数进行容斥：
按照一般的容斥求并集，枚举点集 \(T \subseteq U\), 前面系数是\((-1)^{|T| - 1}\)。
容斥的核心式子是:
$$\sum_{i = 1}^{|U| - 1} (-1)^{i - 1} \binom{n}{i - 1} = 1$$
这样时间复杂度是 \(O(2^{|U|})\) 的。

有点数-边数的容斥，需要满足容斥的方案数是一个连通块。
不难发现，满足条件 1 和 条件 2 的集合 \(S\) 一定是一个树上连通块。
这样容斥的式子就是：
$$n - e = 1$$
其中 \(n\) 代表点数， \(e\) 代表边数。

关于 \(dfn\) 序的树上连通块 \(dp\)：
要求的包含点 \(x\) 或 边 \((x, y)\) 的树上连通块满足上述条件的集合个数。
可以利用 \(dfn\) 序，不选子树有转移 \(f_{x} \gets f_{x + \text{siz}_{x}}\)。
一般的转移有 \(f_{x} \gets f_{x + 1}\)。

先口胡，代码没有。
阴间模数要用多项式来算组合数，不会。

标签：连通,完美,cap,容斥,集合,边数
来源： https://www.cnblogs.com/qjbqjb/p/16511190.html