参考博客

再探模拟费用流一类问题 Cold_Chair

模拟费用流

费用流的本质其实是一种可以反悔的贪心，但对于一些题目费用流太过于复杂，无用的边数太多，所以可以考虑模拟费用流。

一种模型

一条数轴上，有\(n\)只老鼠，\(m\)个洞，一个洞最多容纳一只老鼠。老鼠只能往左走，走到一个洞的代价为坐标差绝对值。
选一个老鼠进洞有额外的代价\(w1_i\)，进第i个洞有额外的代价\(w2_i\in R\)，不进就没有代价。求最大的代价和。

\(\text{Solution}\)

考虑费用流，一个老鼠匹配一个洞，选一个老鼠的代价是\(w1_i + x_i\)，选一个洞的代价是\(w2_i - y_i\)。
考虑用贪心模拟这个过程，从左向右扫，遇到一个洞就将\(w2_i - y_i\)加入堆中，遇到老鼠就匹配一个洞，条件是代价和要大于\(0\)。
但这样不一定是最优的，想一想网络流中的反向边，我们可以在对中再加入老鼠离开洞的代价\(-w1_i - x_i\)，这样后面的老鼠就有可能代替前面的老鼠。

【2010集训队出题】最大收益

一道不一样的例题，题解给出的贪心似乎也可以用模拟费用流构造出。
在费用流中，一个任务连向了多个时刻经行匹配，收益是\(V_i\)。
肯定是先将最大的收益匹配时刻，但在后面的匹配中可能会发生冲突，那么其中某一个就可能被替代，从而和后面的时刻匹配。
这样我们贪心的思路就出来了，将任务按照\(V_i\)排序，按大到小加入，如果可以加入就加，不可以就看二者那一个的\(T_i\)更靠后，将其向后面的时刻匹配。
这样一次匹配不会超过\(O(n)\)，总复杂度即为\(O(n^2)\)。

### $\text{Code}$
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 5005;
int n,g[N << 2],X[N << 1],f[N];

struct nd{int s,t,v;}a[N];
bool cmp(nd x,nd y){return x.v > y.v;}
bool check(int x,int t)
{
	if (t > a[x].t) return 0;
	if (!g[t]) {g[t] = x; return 1;}
	if (a[x].t > a[g[t]].t) return check(x,t + 1);
	if (check(g[t],t + 1)) {g[t] = x; return 1;}
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d%d",&a[i].s,&a[i].t,&a[i].v),X[i] = a[i].s;
	sort(X + 1,X + 1 + n);
	for (int i = 1,j = 0; i <= n; i++)
		j = max(j + 1,X[i]),f[i] = j;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		a[i].s = lower_bound(f + 1,f + 1 + n,a[i].s) - f,
		a[i].t = lower_bound(f + 1,f + 1 + n,a[i].t) - f;
	sort(a + 1,a + 1 + n,cmp); LL ans = 0,sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) ans += (LL)(check(i,a[i].s) ? a[i].v : 0);
	printf("%lld\n",ans);
}

标签：费用,匹配,老鼠,int,return,代价,模拟
来源： https://www.cnblogs.com/nibabadeboke/p/16493119.html