关于 数论-逆元 的学习
作者：互联网
参考教程： (6条消息) 逆元原理详解_跑起来要带风！的博客-CSDN博客
(6条消息) 密码学中模运算的逆元求解_Gardenia Minwentel的博客-CSDN博客_模逆元怎么求
原理：
\(a^{m-1}mod m=1modm\)(m为素数)
\(a*a^{m-2}mod m=1modm\)
\(\frac{1}{a}mod m=a^{m-2}mod m\)
详细见：欧拉定理与费马小定理
板子
long long q_pow(long long a,long long b,long long mo){
long long res = 1;
while(b){
if(b&1)res*=a;
a*=a;
b>>=1;
a%=mo;
res%=mo;
}
return res;
}
long long inv(long long a,long long mo){
return q_pow(a,mo-2,mo);
}
题意：求\(A^B的所有因子的和mod9901\)
分解质因数：\(A=p_1^{x_1}*p_2^{x_2}*...*p_n^{x_n}\)
\(A^B=p_1^{B*x_1}*p_2^{B*x_2}*...*p_n^{B*x_n}\)
$ans =\prod_{i=1}^{n} \sum_{j=0}{B*x_i}p_ij $
$ans = \prod_{i=1}^{n} \frac{p_i^{B*x_i}-1}{p_i-1} $
这里出现了分数，就要求逆元了。
题目的测试数据： Detail of message (poj.org)
#include<iostream>
#define int long long
const int MOD = 9901;
long long q_pow(long long a,long long b,long long mo){
a%=mo;
long long res = 1;
while(b){
if(b&1)res*=a;
a*=a;
b>>=1;
a%=mo;
res%=mo;
}
return res;
}
long long inv(long long a,long long mo){
return q_pow(a,mo-2,mo);
}
signed main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
long long a,b;std::cin>>a>>b;
long long ans=1;
for(int i = 2;i*i<=a;i++){
int cost = 0;
while(a%i==0){
cost++;
a/=i;
}
int k = (q_pow(i,b*cost+1,MOD)-1+MOD )%MOD;
int ny = inv(i-1,MOD);
if(ny==0)ans=ans*(b*cost%MOD+1)%MOD;//如果逆元不存在
else ans=(ans*k%MOD)*ny%MOD;
}
if(a>1){
int k = (q_pow(a,b*1+1,MOD)-1+MOD )%MOD;
int ny = inv(a-1,MOD);
if(ny==0)ans=ans*(b*1%MOD+1)%MOD;
else ans=(ans*k%MOD)*ny%MOD;
}
std::cout<<ans<<std::endl;
}
逆元递推
\(inv(n!)\equiv \frac{1}{n!}(mod MOD)\)
\(inv(n!)*n \equiv \frac{1}{(n-1)!}(modMOD)\)
\(inv(n!)*n=inv((n-1)!)\)
由此递推式可以得到所有阶乘的逆元。
\(inv(n)=inv(n!)*(n-1)!\)
然后得到所有的n的逆元。
例题： P3811 【模板】乘法逆元 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
题意：求1到n的所有整数在模质数p意义下的乘法逆元。
由于数据较大，直接挨个求快速幂逆元会TLE,所以要用到上述递推。
//https://www.luogu.com.cn/problem/P3811
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int N = 3e6+10;
long long q_pow(long long a,long long b,long long mo){
long long res = 1;
while(b){
if(b&1)res*=a;
a*=a;
b>>=1;
a%=mo;
res%=mo;
}
return res;
}
long long inv(long long a,long long mo){
return q_pow(a,mo-2,mo);
}
long long jcny[N];
long long jc[N];
signed main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
int n,p;std::cin>>n>>p;
jc[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
jc[i]=jc[i-1]*i%p;
}
jcny[n]=inv(jc[n],p);
for(int i=n-1;i>=1;i--){
jcny[i]=jcny[i+1]*(i+1)%p;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
std::cout<<jcny[i]*jc[i-1]%p<<"\n";
}
}
刷题喽：
P4902 乘积 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
这题卡常了，用上快读能快3倍
快读板子：
inline int read() {
#define reg register
reg int s = 0, t = 0; reg char ch = getchar();
while(ch > '9' || ch < '0') t |= ch == '-', ch = getchar();
while(ch >= '0' && ch <= '9') s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
return t ? -s : s;
}
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int MOD = 19260817;
const int mo = MOD;
const int N = 1e6+10;
//long long ans[N],a[N];
inline long long q_pow(long long a,long long b){
long long res = 1;
while(b){
if(b&1)res*=a;
a*=a;
b>>=1;
a%=mo;
res%=mo;
}
return res;
}
inline long long inv(long long a){
return q_pow(a,mo-2);
}
#define reg register
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
#define pin(a) printf("%d", a)
inline int read() {
reg int s = 0, t = 0; reg char ch = getchar();
while(ch > '9' || ch < '0') t |= ch == '-', ch = getchar();
while(ch >= '0' && ch <= '9') s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
return t ? -s : s;
}
int d[N],hd[N],ans[N];
void init(int n){
for(int i=1;i<=n;++i)
hd[i]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=i;j<=n;j+=i){
d[j]++;
hd[j]=hd[j]*i%MOD;
}
int tot=1,f=0,g=1,h=1;
ans[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i){
f=(f+d[i])%MOD;
h=h*hd[i]%MOD;
g=g*h%MOD;
tot=tot*q_pow(i,f)%MOD;
ans[i]=tot*inv(g)%MOD;
}
}
signed main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
init(1e6);
int t;t=read();
while(t--){
int a,b;a=read();b=read();
std::cout<<ans[b]*inv(ans[a-1])%MOD<<"\n";
}
}
标签：ch,数论,res,mo,long,学习,int,逆元,MOD 来源： https://www.cnblogs.com/wtn135687/p/16491784.html