[湖南省队集训 2021] 梧桐依旧

题目叙述

求满足以下条件的矩阵对 \((A,B)\) 的数量，满足 \(A\equiv B\times A\pmod p\) ，并且 \(\det(B)\not =0\)。\(A\) 和 \(B\) 都是 \(n\times n\) 的矩阵。

题解

容易发现，模 \(p\) 意义下的可逆矩阵和 \(\times\) 运算构成一个群。
因此，考虑逆用 burnside 定理，将 \(B\) 作为若干个操作中的一个，原题相当于对于每个操作求不动点数量之和，也就是可逆矩阵的方案数与等价类数量。
先考虑可逆矩阵的方案数，相当于 \(n\) 个线性无关的有序向量的方案数。考虑逐行确定这 \(n\) 个向量，在前 \(i-1\) 行确定而第 \(i\) 行不确定的情况下，第 \(i\) 行的方案数是 \(p^n-p^{i-1}\) 。含义是这行的总方案数去掉可以被上面 \(i-1\) 行凑出的方案数。因此方案数为 \(\prod_{i=0}^{n-1}(p^n-p^i)\) 。
再考虑下一个部分，求等价类数量。一个矩阵可以通过乘上另一个可逆矩阵变成另一个矩阵，这等价于这两个矩阵可以通过初等行变换互相得到，这可以通过考虑求矩阵的逆矩阵的过程发现这件事情。
而同一等价类里面的矩阵，都可以通过初等行变换得到一个固定的上三角矩阵。
首先考虑按照秩分类计算，计算秩为 \(m\) 的等价类数量。
其次可以通过秩为 \(m\) 的总矩阵方案数除以一个等价类的大小。
秩为 \(m\) 的总矩阵数量，可以理解为 \(\prod_{i=0}^{m-1}(p^n-p^i)\) 。
而一个等价类的大小容易通过最终的上三角凑出这个等价类的角度计算等价类的大小，这个可以理解为基底乘上一个 \(m\times m\) 的矩阵的形式，所以方案数是 \(\prod_{i=0}^{m-1}(p^m-p^i)\)。

总结

• 逆用的 burnside 定理
• 对矩阵和秩相关问题计数的基本思路
• 另外乘以可逆矩阵变为另一个矩阵相当于可以通过初等行变换变换为那个矩阵。

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来源： https://www.cnblogs.com/YouthRhythms/p/16485518.html