[CF1699C]The Third Problem

做题时间：2022.7.12

\(【题目描述】\)

给定一个长度为 \(N(N\leq 10^5)\) 的排列 \(a_i\) ，其中的数包括 \([0,n-1]\) ，求出有多少个排列 \(b_i\) 满足对于 \(\forall l,r,1\leq l\leq r\leq N\) ，满足：

\[\operatorname{MEX}([a_l,a_{l+1},\ldots,a_r])=\operatorname{MEX}([b_l,b_{l+1},\ldots,b_r]), \]

其中 \(\operatorname{MEX}([c_1,c_2,...,c_k])\) 表示在序列 \([c_1,c_k]\) 中未出现的最小非负整数。

\(【输入格式】\)

第一行一个整数 \(T\) 表示数据组数
每组数据第一行一个整数表示 \(N\)
每组数据第二行 \(N\) 个整数表示 \(a\)

\(【输出格式】\)

共 \(T\) 行，每行一个整数表示答案

\(【考点】\)

组合数学

\(【做法】\)

一开始没有什么头绪，可以从小开始枚举寻找规律。

定义 \(p_i\) 表示数字 \(i\) 在 \(a\) 中的下标。考虑0的位置，因为 \(\operatorname{MEX}\{a_{p_{0}}\}=1\) ，因此 \(b\) 中0的位置也是 \(p_0\) （可以发现样例也是如此）

考虑1的位置，假设其在0的右边（可以发现在左边和右边的情况是相似的），即 \(p_1>p_0\) ， \(\operatorname{MEX}\{a_{p_0}\cdots a_{p_1}\}\geq 2\) ，我们可以发现 \(b\) 中的 1 必定在 \(p_0\) 与 \(p_1\)之间，共有 \((p_1-p_0)\) 种选择（ \(p_0\) 不能选 ）

那么对于2而言，当它处在0与1之间的时候， 序列 \(a\) 即为 \([\cdots0\cdots2\cdots1\cdots]\) ， \(\operatorname{MEX}\{a_{p_0}\cdots a_{p_0}\}\geq 3\) ，对应地： \(\operatorname{MEX}\{b_{p_0}\cdots b_{p_1}\}\geq 3\) ，也就是说2必定在 \(p_0\) 与 \(p_1\) 之间，共有 \((p_1-p_0-1)\) 种选择（ \(p_0\) 及 \(p_1\) 都不能选 ）；当它处在0与1之外的时候，序列 \(a\) 即为 \([\cdots 2\cdots 0\cdots 1\cdots]\) 或 \([\cdots 0\cdots 1\cdots 2\cdots]\) 此时 \(\operatorname{MEX}\{a_{p_2},......,a_{p_0}\}=1\) 或 \(\operatorname{MEX}\{a_{p_1},......,a_{p_2}\}=0\) ，2在 \(b\) 中的位置仅能为 \(p_2\)

然后枚举3,4...懒得写了

到这里我们可以发现规律了，除了0之外，第 \(k\) 个数若在 \(0\) 至 \(k-1\) 组成的区间中，那么它就有 \((r-l-k)\) 种选择（如果你看不出来，可以参考其他大佬的思路），若不在，说明只有一种情况。最后把这些情况全部乘在一起即可。

\(【代码】\)

#include<cstdio>
#include<iomanip>

using namespace std;
const int N=1e5+50,MOD=1e9+7;
int a[N],pos[N],n,t;
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),pos[a[i]]=i;
		int l=pos[0],r=pos[0];
		long long ans=1;
		for(int i=1;i<n;i++){
			if(pos[i]<l) l=pos[i];
			else{
				if(pos[i]>r) r=pos[i];
				else ans*=(long long)(r-l+1-i),ans%=MOD; 
			}
		}
		printf("%lld\n",ans%MOD);
	}
	return 0;
}

标签：int,Third,CF1699C,整数,MEX,leq,cdots,Problem,operatorname
来源： https://www.cnblogs.com/Unlimited-Chan/p/16475558.html