[学习笔记]李超线段树

这个之前学过的，结果我发现我忘了，怕之后再忘，我就再写一下吧。毕竟这个东西非常有用(好写)可以代替cdq/平衡树+斜率优化，来优化dp

流程

数据结构本质是一棵线段树，每个节点都储存了\(bst[]\)。
\(bst[l,r]\)表示覆盖该点范围的在\(mid\)处取最值的线段。
你会想：维护这个有什么用？每个点就只能维护一个，复杂度和正确性怎么保证？
便于理解，就直接讲操作了。

加入（一条线段\(id\)）

从根遍历线段树。令\(F(k,x)\)表示自变量为\(x\)在线段\(k\)上取值。假如这里的最值是\(max\)。

• 如果\(bst[x]=0\)，\(bst[x]=id\)结束。
• 如果\(F(id,mid)>F(bst[x],mid)\)，更新\(bst[x]\)，不过我们做的是\(swap(bst[x],id)\)此时原来的\(bst[x]\)就替换了\(id\)（处于待加入状态）。
• 接下来虽然\(id\)在中点处不如\(bst[x]\)，但在两端处可不一定，但是我们发现了一个可以保证复杂度的性质：\(id\)至多在左或右的一端优于\(bst[]\)(像一个跷跷板...)。
  这样\(id\)在哪边优就往哪边继续递归。当然如果左右两端（整条线段劣于\(bst\)，自然就结束了）
• 最后在叶子时，发现保存的恰好是\(mid/l/r\)取值最优线段。结束。
• 复杂度\(O(log^2n)\)：划分为\(log_2n\)个区间后，每个区间都有可能执行到叶子
  特别的：加入直线是\(O(logn)\)因为没有划分区间的过程了。

查询

• 单点查询直接从上一直到叶子或\(bst=0\)取每个点的值更新。
• 如果是区间查，就需要存一个变量表示子树最值，加入时P_up()即可维护。

应用 (都是优化dp的，不想特别去讲了)

[HEOI2013]Segment
「NOI2007」货币兑换
外层套树链剖分:[SDOI2016]游戏
又是sdoi: [SDOI2012]基站建设

标签：bst,线段,mid,笔记,李超,复杂度,id,最值
来源： https://www.cnblogs.com/bestime/p/16471195.html