数学期望学习笔记

概念

数学期望（简称期望），是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，它反映了随机变量平均取值的大小

一般来说，对于随机变量 \(X\) ，它有 \(n\) 中可能的取值，其中取到 \(x_i\) 的概率为 \(P(x_i)\) ,那么它的数学期望 \(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \times P(x_i)\)

数学期望也可以用加权平均数来理解，可能取值就是初始数据，概率就是每个数的权，此时期望就是加权平均数。

性质

设 \(A,B,C\) 为常数， \(X,Y\) 为随机变量，则有

• \(E(C)=C\)
• \(E(C \times X)=C \times E(X)\)
• \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
• 当 \(X,Y\) 相互独立时， \(E(X \times Y) = E(X) \times E(Y)\)

应用

P1297 [国家集训队]单选错位

• 当 \(a_i = a_{i+1}\) 时，显然随机的答案在下一题也是随机的，期望为 \(\dfrac{1}{a_i}\)
• 当 \(a_i > a_{i+1}\) 时，只有 \(\dfrac{a_{i+1}}{a_i}\) 的概率答案在 \(1 \sim a_i\) 中，期望为 $\dfrac{a_{i+1}}{a_i} \times \dfrac{1}{a_{i+1}} = \dfrac{1}{a_i} $
• 当 \(a_i < a_{i+1}\) 时，由于随机的答案只在 \(1 \sim a_i\) 中，而下一题的正确答案有 \(\dfrac{a_i}{a_{i+1}}\) 的概率在 \(1 \sim a_i\) 中，所以期望为 \(\dfrac{a_i}{a_{i+1}} \times \dfrac{1}{a_i} = \dfrac{1}{a_{i+1}}\)

综上所述，答案为 \(\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{\max(a_i,a_{i+1})}\)

#include <cstdio>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N=1e7+7;

int a[N];

double ans;
int n,A,B,C;

signed main() {
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&A,&B,&C,a+1);
	for(int i=2;i<=n;++i)
	  	a[i]=((ll)a[i-1]*A+B)%100000001;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	  	a[i]=a[i]%C+1;
	  	
	a[n+1]=a[1];
	for(int i=1;i<=n;++i)
	  	ans+=1.0/max(a[i],a[i+1]);
	printf("%.3lf",ans);
    return 0;
}

标签：期望,int,dfrac,d%,笔记,times,数学,sim
来源： https://www.cnblogs.com/wshcl/p/MathematicalExpectation.html