2021 东南赛高一组试题
作者：互联网
老师发的画质糊得不行，用 \(\LaTeX\) 打一下可能会好一点。
\(\rm Day\ 1\)：
1. 已知单调递减正数列 \(\{a_n\}\) 满足：\(a_1=\dfrac{1}{2}\)，当 \(n\le 2\) 时，
\[a_n^2(a_{n-1}+1)+a_{n-1}^2(a_n+1)-2a_na_{n-1}(a_{n}a_{n-1}+a_n+1)=0 \]（1）求数列 \(\{a_n\}\) 的通项；
（2）记 \(S_n\) 为数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和。证明：\(\ln\left(\dfrac{n}{2}+1\right)<S_n<\ln\left(n+1\right)\).
2. 如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=AC>BC\)，点 \(O,H\) 分别为 \(\triangle ABC\) 的外心，垂心，\(G\) 为线段 \(AH\) 的中点，\(BE\perp AC\) 于点 \(E\).
证明：若 \(OE\ \ /\kern -0.8em /\ \ BC\)，则 \(H\) 为 \(\triangle GBC\) 的内心。
3. 给定奇质数 \(p\) 和整数序列 \(u_n,n>0\)，定义数列 \(v_n=\sum\limits_{i=0}^nC_n^ip^iu_i,n\ge 1\).
证明：若有无穷多个 \(n\) 满足 \(v_n=0\)，则对所有的正整数 \(n\)，\(v_n=0\)。
4.
标签：AC,ABC,triangle,数列,BC,dfrac,赛高,2021,试题 来源： https://www.cnblogs.com/zhouyuhang114/p/16462852.html