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dp 多维状态的分步优化

作者:互联网

面对一个多维 \(\text{dp}\) 问题,根据维度之间联系的紧密程度,我们可以选择

  1. 维度之间紧密相关,只能直接枚举

  2. 维度之间完全无关,只是贡献通过某种形式相加,可以割裂为两个dp处理

  3. 介于 \(1,2\) 之间,不能割裂计算,但是可以将转移过程割裂为若干步来优化

e.g.1: 选区间1

问题描述

对于所有二元组 \(a,b, (a,b\in[1,n]\cap \mathbb{Z}, a\leq b)\),给出了其权值 \(w_{a,b}\)。

现在求一个元组序列 \(A=(a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots\),满足 \(a_1\le a_2,b_2\le b_1\)

定义 \(\displaystyle w_A=\sum w_{a_i,b_i}+\sum w_{a_{i-1},a_i}+\sum w_{b_{i-1},b_i}\) ,最大化\(w_A\) 。

原 \(\text{dp}\)

令\(dp_{a,b}\)表示最后一个元组为\(a,b\)时的最大权值,状态数为\(O(n^2)\)。

直接转移复杂度为\(O(n^2)\),总复杂度为\(O(n^4)\)。

分布转移

两维的状态决定了权值,因此不可以割裂

但是两个维度在转移时并没有必然联系,因为只涉及 \(a_{i}\) 和 \(a_{i+1}\),\(b_i\) 和 \(b_{i+1}\) 的关系

因此可以先转移\(a\)这一维,然后再转移\(b\)这一维

具体的,转移可以描述如下

  1. \(dp_{a,b}+w_{a,c}\rightarrow f_{c,b}\)

  2. \(f_{c,b}+w_{d,b}+w_{c,d}\rightarrow dp_{c,d}\)

优化后转移复杂度为 \(O(n)\),状态数虽然加倍但是不影响量级

总复杂度为 \(O(n^3)\)

e.g.2: 选区间2

问题描述

对于所有二元组\(a,b, (a,b\in[1,n]\cap \mathbb{Z}, a\leq b)\),给出了其权值\(w_{a,b}\)

现在求一个元组序列$A=(a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots$,满足$a_1<a_2,b_2<b_1$

定义$\displaystyle w_A=\sum w_{a_{i-1},a_i}+\sum w_{b_{i-1},b_i}$ ,最大化$w_A$

原dp

令$dp_{a,b}$表示最后一个元组为$a,b$时的最大权值,状态数为$O(n^2)$

直接转移复杂度为$O(n^2)$,总复杂度为$O(n^4)$

分布转移

容易发现这个问题同样适用选区间1的优化

割裂

容易发现权值由$a_i,a_{i+1}$,$b_i,b_{i+1}$决定,不需要知道过程中每一个$a_i,b_i$的组,只需要知道数量

而$a,b$有单调性,所以关于$a\leq b$的限制只需要最后满足即可

令$f_{i,j}$表示已经枚举了$i$个元素,最后一个$a_i=j$时的最大值

同理,令$g_{i,j}$已经枚举了$i$个元素,最后一个$b_i=j$时的最大值

状态数为$O(n^2)$,转移复杂度为$O(n)$,最后可以在$O(n^2)$时间内合并$f,g$的贡献

总复杂度为$O(n^3)$


e.g.3: 足球

Source: COCI2012/2013 Contest#5 F

问题描述

有$2n$个人踢球,两队各$n$个人,一开始球在A队1号

每秒钟,按照一定概率球可能会被某一些对手抢走,或者传给某一些队友,或者射门

射门只有一定概率$p_i$射中,每次射门之后球会到对方1号队员

求$T$秒后比分为$a,b$的概率,如果一队得分达到$r$,视作胜利,比赛结束

为了便于分析,$O(n)=O(T)$

原dp

记录时间、比分、球的位置,状态数为$O(Tnr^2)=O(n^2r^2)$

转移枚举的情况不超过$2n$,转移复杂度为$O(n)$,总复杂度为$O(n^3r^2)$

割裂

在记录比分的同时记录球的位置并没有意义,因为实际上关键事件实际上就是射门,每次射门之后球所在位置情况是$O(1)$的

那么新的dp将 球的位置比分情况 割裂开来

1.处理球的位置,令$f_{i,j,k}$表示一开始球在$i$队1号时,第一次射门是在$j$时刻,由球员$k$射门($k$可以是两队中任何一个)

状态数为$O(Tn)$,转移为$O(n)$,这一部分复杂度为$O(n^3)$

2.比分情况

令$g_{i,j,a,b}$表示$i$时刻,球在$j$队1号,当前比分为$a:b$的概率

状态数为$O(Tr^2)$,转移为$O(T)$,总复杂度为$O(T^2r^2)$


e.g.4: 异或

Source: CSP-S 2020 初赛完善程序2 (大雾

给定长度为$n$的序列$a_i\in[0,m),m=2^{16}$,$n\leq 10^{5}$

设$w(x)=\text{pop_count}(x)+x$,求一个子序列$b_i$

最大化$\sum w(b_i\oplus b_{i+1})$

原dp

令$dp_{x}$表示子序列最后一个元素为$x$时的答案,状态数为$O(m)$

对于每个数$a_i$,枚举前驱状态进行转移,复杂度为$O(m)$

总复杂度为$O(nm)$

分布转移

这道题看似是一个1维dp,但是实际上实际上权值是分位处理的

我们不如先看一个类似的选区间问题的变体

对于所有二元组$a,b, (a,b\in[1,n]\cap \mathbb{Z})$,给出了其权值$w_{a,b}$

给定了一个元组序列$A=(a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots$

现在要选出$A$的一个子序列$B$,定义$\displaystyle w_B=\sum w_{a_{i-1},a_i}+\sum w_{b_{i-1},b_i}$ ,最大化$w_B$

实际上这两个问题是完全相同的,但是由于限制了$a_i,b_i$为子序列,导致分布显得比较奇怪

分布转移的过程中,转移状态应该是这样的

$(a_1,b_1)\rightarrow (a_2, b_1) \rightarrow (a_2,b_2)$

容易发现这个过渡状态$(a_2,b_1)$实际上并不是一个存在的元组,并不满足匹配关系

那么我们如何得到这个过渡状态呢?

1.我们手里有$(a_1,b_1)$的dp值$dp_{a,b}$

2.我们并不知道$a_2$,于是需要向所有可能的$a_2$转移,得到$f_{c,b}$

$\forall c,dp_{a_1,b_1}+w(b_1,c)\rightarrow f_{c,b_1}$

3.当拿到$a_2,b_2$时,此时我们已经知道了$a_2$,但是不知道$b_1$,因此需要从所有$b_1$中得到$dp_{a_2,b_2}$的值

而为了分布转移,我们在中间过程中并不需要

$\forall c,f_{a_2,c}+w(c,b_2)\rightarrow dp_{a_2,b_2}$

分析会发现,$dp_{a,b}$反而在这个过程中只是一个过渡值,并不需要开数组记录

于是就得到了完善程序的dp

标签:数为,复杂度,sum,分步,权值,多维,转移,dp
来源: https://www.cnblogs.com/A-Quark/p/16448270.html