1007 钉子和小球 动态规划 线性DP
作者：互联网
来源：牛客网
题目描述
有一个三角形木板,竖直立放，上面钉着n(n+1)/2颗钉子，还有(n+1)个格子（当n=5时如图1）。每颗钉子和周围的钉子的距离都等于d，每个格子的宽度也都等于d，且除了最左端和最右端的格子外每个格子都正对着最下面一排钉子的间隙。
让一个直径略小于d的小球中心正对着最上面的钉子在板上自由滚落，小球每碰到一个钉子都可能落向左边或右边（概率各1/2），且球的中心还会正对着下一颗将要碰上的钉子。例如图2就是小球一条可能的路径。
我们知道小球落在第i个格子中的概率pi=
图1 图2 图3
输入描述:
第1行为整数n（2 ≤ n ≤ 50）和m（0 ≤ m ≤ n）。以下n行依次为木板上从上至下n行钉子的信息，每行中‘*’表示钉子还在，‘.’表示钉子被拔去，注意在这n行中空格符可能出现在任何位置。
输出描述:
仅一行，是一个既约分数(0写成0/1)，为小球落在编号为m的格子中的概pm。既约分数的定义：A/B是既约分数，当且仅当A、B为正整数且A和B没有大于1的公因子。
示例1输入
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*
* .
* * *
* . * *
* * * * *
输出
复制7/16
分析
一开始我去考虑每个空格接受的球，后来发现想复杂了。如果最上面定义为第0行，最下面是第n-1行，那么我们可以手动补充第n行，也就是把最下面的每个格子都看成一个钉子。
这样就不用考虑空格了，只需考虑钉子的事情。
令dp[i][j]为走到第i行第j列的球数，sum为最后一行的总和，那么所求的答案就是dp[n][m]/sum
考虑每个点对下方的影响，即“我为人人”型：
这里采用基数的方法，假设球通过每个钉子后会自动裂开成左右两半，下方两边的钉子各接受一个，即钉子存在时，dp[i+1][j]+=dp[i][j]，dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]
当(i,j)处的钉子不存在时，(i,j)的球都会落到(i+2,j+1)（注意不是j）处，也就是球竖直下降了2层。另外，经过一层后1个球会裂开分成2个，穿过两层后1个球裂成的4个都落进了(i+2,j+1)，即dp[i+2][j+1]+=dp[i][j]*4
如题目样例，上方红点没有钉子，上下两个红点坐标分别是(i,j)和(i+2,j+1)，上方红点的球会全部落到下方红点
另外，如果有钉子时写成dp[i+1][j]+=dp[i][j]/2，dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]/2，也就是对半分开，那无钉子就不用乘4了，不过那样赋初值就得dp[0][0]=(ll)((ll)1<<(ll)n)，即最上面的钉子赋一个最大的数，最后答案是dp[n][m]/dp[0][0]，注意转成long long
我这里假设一个球会裂成两半，初值就dp[0][0]=1即可
1.一开始想的也是dp，但是在想怎么从在下面直接推出上面转移到下面有多少值，而且对于概率有点迷茫
2.看了题解，才发现是将三角形转换成数字三角形，然后直接从上面转移到下面，分步加法原理。
3.然后计算概率，是直接让1 变成一个可以被所有情况拆分的值，也就是2^(n+1) ，然后约分+除法得到结果
4.对于那些被拆掉的钉子，可以直接传递到下下一层的dp[i+2][m+1]，这是比较难想到的
ps：由于没有算入最后一行，写成了2^(n)，
//-------------------------代码----------------------------
#define int LL
const int N = 100;
int n,m;
char mp[N][N];
int dp[N][N];
void solve()
{
cin>>n>>m;
for(int i = 1;i<=n;i++) {
for(int j = 1;j<=i;j++) {
cin>>mp[i][j];
}
}
dp[1][1] = 1;
fo(i,1,n) dp[1][1] *= 2;
for(int i = 1;i<=n;i++) {
for(int j = 1;j<=i;j++) {
if(mp[i][j] == '*') {
dp[i+1][j] += dp[i][j] / 2;//从上往下分配
dp[i+1][j+1] += dp[i][j] / 2;
} else {
dp[i+2][j+1] += dp[i][j];
}
}
}
int t = dp[n+1][m+1];//忘记 + 1
int q = dp[1][1];
int g = gcd(t,q);
// dbb(t,q,g);
cout<<t / g <<'/' << q / g;
}
signed main(){
clapping();TLE;
// int t;cin>>t;while(t -- )
solve();
// {solve(); }
return 0;
}
/*样例区
*/
//------------------------------------------------------------
标签：下面,格子,int,钉子,小球,DP,1007,dp 来源： https://www.cnblogs.com/er007/p/16447521.html