斯特林数及其应用

引言

在组合数学，Stirling数可指两类数，第一类Stirling数和第二类Stirling数，都是由18世纪数学家James Stirling提出的。
Stirling数有两种，第一类Stirling数和第二类Stirling数，它们自18世纪以来一直吸引许多数学家的兴趣，如欧拉、柯西、西尔沃斯特和凯莱等。后来哥本哈根（Copenhagen）大学的尼尔森（Niels Nielsen，1865-1931）提出了"Stirlingschen Zahlen erster Art" [第一类Stirling数]和"Stirlingschen Zahlen zweiter Art" [第二类Stirling数]，首次把这两类数冠以「Stirling数」之名 。因为苏格兰数学家斯特林（J. Stirling, 1692-1770）首次发现这些数并说明了它们的重要性。
——来自于百度百科

另外，由于拉赫数与斯特林数关系密切，所以有时拉赫数也被称为第三类斯特林数。

注：第二类斯特林数却在斯特林的相关著作和具体数学中被首先描述，同时也比第一类斯特林数常用得多。

第一类斯特林数

第一类斯特林数（斯特林轮换数）\(\begin{bmatrix} n\\m\end{bmatrix}\)，表示将 \(n\) 个两两不同的元素，划分成 \(m\) 个互不区分的非空置换的方案数。

注：一个轮换是一个收尾相接的环形排列。两个可以通过旋转而互相得到的轮换是等价的（我们不认为两个可以通过翻转而相互得到的轮换等价）。

递推式

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