组合数

性质和公式

\(1.\) 对称性

\[\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \]

\(2.\) 加法公式

\[\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \]

其组合意义为钦定最后一个数选或不选的方案数相加。

\[\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}=2^n \]

其组合意义为所有的选数方案恰好对应了每一个数选或不选的方案数。

\[\binom{n}{m}\binom{m}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k} \]

其组合意义为 从 \(n\) 个数中选取 \(m\) 个数，再从这 \(m\) 个数中选择 \(k\) 个数的方案数等于 从 \(n\) 个数中选取 \(k\) 个数，再从剩下的 \(n-k\) 个数中选取 \(m-k\) 个数。

\(3.\) 上指标求和

\[\sum_{i=0}^{n}\binom{i}{k}=\binom{n+1}{k+1} \]

其组合意义为 从 \(n + 1\) 个数中选择 \(k + 1\) 个数的方案数。其等价于钦定最后一个选择的元素是第 \(i + 1\) 个，在前 \(i\) 个数中选择 \(k\) 个数的方案数之和。
其对应在杨辉三角上如图所示：

绿色框中的数等于黄色的选中的数相加的和。
具体证明可结合杨辉三角。

\(4.\) 平行求和

\[\sum_{i=0}^{k}\binom{n+i}{i}=\binom{n+k+1}{k} \]

平行求和可将每一项利用对称性转化为上指标求和。
其对应在杨辉三角上如图所示：

绿色框中的数等于黄色的选中的数相加的和。
具体证明可结合杨辉三角。

标签：方案,组合,基础,sum,个数,数学,杨辉三角,binom
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