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面面垂直的判断与证明

作者:互联网

前言

图形语言 文字语言 符号语言
如果一条直线和一个平
面垂直,那么它和这个
平面的任意一条直线垂
直,简称:线面垂直,
则线线垂直
\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{b\subsetneqq\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a\perp b\)
图形语言 文字语言 符号语言
如果一条直线和一个平
面内的两条相交直线都
垂直,那么这条直线和
这个平面垂直,简称:
线线垂直,则线面垂直
\(\left.\begin{array}{r}{a\subsetneqq\alpha,b\subsetneqq\alpha}\\{a\cap b=O}\\{l\perp a,l\perp b}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow l\perp\alpha\)
两个平面垂直,如果一
个平面内的直线和其交
线垂直,那么这条直线
和另一个平面垂直
\(\left.\begin{array}{r}{\alpha\perp \beta}\\{\alpha\cap\beta=l}\\{a\subsetneqq\alpha,a\perp l}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a\perp\beta\)
如果一条直线和两个[可
引申为一组]平行平面中
的一个垂直,则它和另
一个平面也垂直
\(\left.\begin{array}{r}{\alpha//\beta}\\{a\perp\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow a\perp \beta\)
如果一个平面和两条[可
引申为一组]平行直线中
的一条垂直,则它和另
一条直线也垂直
\(\left.\begin{array}{r}{a//b}\\{a\perp\alpha}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow b\perp \alpha\)
图形语言 文字语言 符号语言
如果一条直线和一个平
面垂直,那么经过这条
直线的平面和这个平面
垂直
\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{a\subsetneqq\beta}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow \alpha\perp\beta\)
如果一条直线和一个平
面垂直,那么与这条直
线平行的平面和这个平
面垂直
\(\left.\begin{array}{r}{a\perp\alpha}\\{a//\beta}\end{array}\right\}\)\(\Rightarrow \alpha\perp\beta\)

【临考谨记】利用定理证明空间中线、面位置关系时,要注意结合几何体的结构特征,尤其是注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质,进行空间中线、面位置关系的相互转化。

$\fbox{线线平行与垂直}$$\quad$$\cfrac{\mbox{判定}\Rightarrow}{\Leftarrow\mbox{性质}}$$\quad$$\fbox{线面平行与垂直}$$\quad$$\cfrac{\mbox{判定}\Rightarrow}{\Leftarrow\mbox{性质}}$$\quad$$\fbox{面面平行与垂直}$

典例剖析

【2022年高考全国卷乙卷文数第18题】如图, 四面体 \(ABCD\) 中, \(AD\perp CD\), \(AD=CD\), \(\angle ADB=\angle BDC\), \(E\) 为 \(AC\) 的中点。

(1). 证明: 平面 \(BED\) \(\perp\) 平面 \(ACD\);

分析:证明面面垂直的题目,常常需要先转化为线面垂直来完成,此时就需要确定一条直线 这条直线就在给定的两个平面内来找,一般寻找确定的顺序是,先找边界线[三角形的平面就是三角形的边],再找中线、中位线、角平分线、高线等这些比较特殊的直线,最后考虑没有这些特殊的直线时,是不是可以做出这些直线,和一个平面 这个平面就是要证明的两个平面中的一个,当你确定了所要的直线的来源平面后,此时的平面就是另外一个平面。,当确定好直线和平面后,就需要在这个平面内找两条直线,然后证明这两条来自平面内的直线分别和前面提到的直线都垂直,从而问题转化为线线垂直,而证明线线垂直时,就能用到初中和高中的相关知识了。

分析过程思维导图:

\[\require{AMScd} \begin{CD} {面面垂直}@>{\Leftarrow\;\alpha\perp\beta}>{性质定理}>线面垂直@>{\Leftarrow\left\{\begin{array}{l}{m[线]\perp\alpha[面]}\\{m\subsetneqq \beta }\end{array}\right.}>{性质定理}>线线垂直@>{\Leftarrow\left\{\begin{array}{l}{m[线]\perp a[线]}\\{m[线]\perp b[线]}\\{a\subsetneqq \alpha}\\{b\subsetneqq \alpha}\\{a\cap b=A}\end{array}\right.}>{依次证明即可}> \end{CD} \]

证明过程思维导图:

\[\require{AMScd} \begin{CD} 线线垂直 @>{\left.\begin{array}{l}{m\perp a}\\{m\perp b}\\{a\subsetneqq \alpha}\\{b\subsetneqq \alpha}\\{a\cap b=A}\end{array}\right\}\Rightarrow m\perp \alpha}>{判断定理}> 线面垂直@>{\left.\begin{array}{l}{m\perp\alpha}\\{m\subsetneqq \beta }\end{array}\right\}\Rightarrow \alpha\perp \beta}>{判定定理}>面面垂直 \end{CD} \]

〖证明〗:由于 \(AD=CD\), \(E\) 是 \(AC\) 的中点, 所以 \(AC\perp DE\)[线线垂直],

在 \(\triangle ADB\)和 \(\triangle CDB\)中,由于 \(\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\BD=BD\\\angle ADB=\angle CDB\end{array}\right.\), 所以 \(\triangle ADB\cong\triangle CDB\)[SAS],

所以 \(AB=CB\), \(E\) 是 \(AC\) 的中点, 故 \(AC\perp BE\)[线线垂直],

[注意,当上述的垂直关系你若写成 \(DE\perp AC\) 和 \(BE\perp AC\),则此时我们往往会转换视角,将上述的垂直关系转换为 \(AC\perp DE\) 和 \(AC\perp BE\),便于我们梳理线面垂直的5个条件]

由于 \(DE\cap BE=E\), \(DE\), \(BE\subset\) 平面 \(BED\),

所以 \(AC\perp\) 平面 \(BED\)[线面垂直],

由于 \(AC\subset\) 平面 \(ACD\), 所以平面 \(BED\perp\) 平面 \(ACD\)[面面垂直].

(2). 设 \(AB=BD=2\), \(\angle ACB=60^{\circ}\), 点 \(F\) 在 \(BD\) 上, 当 \(\triangle AFC\) 的面积最小时, 求三棱锥 \(F\)\(-\)\(ABC\) 的体积.

分析:由题目可知当 \(\triangle AFC\) 的面积最小时, \(S_{\triangle AFC}=\cfrac{1}{2}\cdot AC \cdot EF\),\(AC\)已是定值,故取决于 \(EF\) 最小,而点 \(F\) 是 \(BD\) 上的动点,那它何时最小呢,此时一般考虑其特殊位置,分别可能是 \(EF\) 为 \(\triangle BED\) 的高线,中线,角平分线。

解析:依题意 \(AB=BD=BC=2\), \(\angle ACB=60^{\circ}\), 三角形 \(ABC\) 是等边三角形,

所以 \(AC=2\), \(AE=CE=1\), \(BE=\sqrt{3}\),

由于 \(AD=CD\), \(AD\perp CD\), 所以三角形 \(ACD\) 是等腰直角三角形, 所以 \(DE=1\),

\(DE^{2}+BE^{2}=BD^{2}\), 所以 \(DE\perp BE\),

又由于 \(DE\perp BE\),\(DE\perp AC\), \(AC\cap BE=E\), \(AC\),\(BE\subset\) 平面 \(ABC\),所以 \(DE\perp\) 平面 \(ABC\).

由于 \(\triangle ADB\cong\triangle CDB\), 所以 \(\angle FBA=\angle FBC\),

由于 \(\left\{\begin{array}{l}BF=BF\\\angle FBA=\angle FBC\\AB=CB\end{array}\right.,\) 所以, \(\triangle FBA\cong\triangle FBC\),

所以 \(AF=CF\), 所以 \(EF\perp AC\),

由于 \(S_{\triangle AFC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot EF\),所以当 \(EF\) 最短时从直线 \(BD\) 外的一点 \(E\) 向直线所作的线段中,只有垂线段最短,故接下来我们需要过点 \(E\) 做 直线 \(BD\) 的垂线段。, 三角形 \(AFC\) 的面积取得最小值.

过 \(E\) 作 \(EF\perp BD\), 垂足为 \(F\),

在 \(Rt\triangle BED\) 中, \(\cfrac{1}{2} \cdot BE \cdot DE=\cfrac{1}{2}\cdot BD\cdot EF\) ,

解得 \(EF=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\),所以 \(DF=\sqrt{1^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\cfrac{1}{2}\),

\(BF=2-DF=\cfrac{3}{2}\) ,所以 \(\cfrac{BF}{BD}=\cfrac{3}{4}\)

过 \(F\) 作 \(FH\perp BE\), 垂足为 \(H\), 则 \(FH//DE\), 所以 \(FH\perp\) 平面 \(ABC\),

且 \(\cfrac{FH}{DE}=\cfrac{BF}{BD}=\cfrac{3}{4}\),所以 \(FH=\cfrac{3}{4}\),

所以 \(V_{F-ABC}=\cfrac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABC}\cdot FH=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{2}\times 2\times\sqrt{3}\times\cfrac{3}{4}=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\).

标签:判断,证明,垂直,cfrac,perp,平面,alpha,array
来源: https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/16412252.html