读书笔记 - 看看微积分读本
作者：互联网
书是《普林斯顿微积分读本》，感觉书前面的说明有许多感性的理解和定义，后面的附录才有严谨的证明与定义，这很好啊。
前面两章是必修一的内容，就不写了。
第 3 章 极限导论
注意到极限的大致理解是极端逼近某一个值而非将这个值直接取到，举个栗子：
\[g(x)=\begin{cases}x-1 & x\not=2\\3& x=2\end{cases} \]那么：\(\displaystyle\lim_{x\to2}g(x)=1\)。
左极限为从左向该点逼近的结果，用 \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) 表示，右极限类似，那么若 \(\displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)\not = \lim_{x\to a^+}f(x)\)，那么 \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)\ \text{DNE}\)。
举个栗子：考察函数 \(f(x)=\frac 1 x\)，显然 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)=\infin\)，因为 \(x\) 在正数域内越小 \(f(x)\) 越大，大到无穷大，类似的 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}=-\infin\)，所以说 \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) \ \text{DNE}\)。
由此我们可以定义垂直渐进线，这个定义比较明确，就摘抄下来了：
\(f\) 在 \(x=a\) 处有一条垂直渐进线，那么 \(\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)\) 和 \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) 必然有一个为 \(\infin\) 或 \(-\infin\)。
切忌想当然，左右极限同样存在 \(\text {DNE}\) 的情况，举个栗子： \(g(x)=\sin(\frac{1}{\pi x})\)，众所周知 \(\sin (k\pi)=0,k\in \mathbb{Z}\)，所以其零点位于 \(x=1,\frac12,\frac13,\ldots\)，当这个值接近于 \(0\) 时，其会十分密集，所以其图像会在接近于零是上蹿下跳，所以 \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} g(x) \ \text{DNE}\)。
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