[题解] Atcoder ARC 142 E Pairing Wizards 最小割
作者：互联网
题目
建图很妙，不会。
考虑每一对要求合法的巫师(x,y)，他们两个的\(a\)必须都大于\(min(b_x,b_y)\)。所以在输入的时候，如果\(a_x\)或者\(a_y\)小于\(min(b_x,b_y)\)，可以先把\(a_x\)和\(a_y\)提升到\(min(b_x,b_y)\)(以后的a数组都指做过这步操作的)。接下来如果\(max(a_x,a_y)\geq max(b_x,b_y)\)，那么这一对已经符合要求，可以直接不管。接下来只考虑需要管的。
发现每一对需要管的(x,y)，两个巫师中有且仅有一个满足\(a<b\)。因此可以把所有需要管的(x,y)涉及到的巫师分成左右两组，左边的\(a<b\)，右边的\(a \geq b\)。把每一对(x,y)都当成连接x,y的无向边，发现连成了一张二分图。把左边的点称为X类点，右边的称为Y类点。现在我们想让每一个X类点i满足：\(b_i \leq max(a_i,max_{j和i相邻}a_j)\)，容易发现这与原题的要求等价。
提升X类点和Y类点的strength分别有什么用呢？发现提升一个X类点i，只对i自己有用，也就是使得\(a_i \geq b_i\)，因为它的所有相邻的点j都是Y类点，都已经满足了\(a_j\geq b_j\)。提升一个Y类点则可能会帮助满足所有相邻的X类点的要求
考虑最小割。对每一个X类点i建立一个点\(c_i\)，对于每一个Y类点i和一个[1,100]的整数j建立一个点\(d_{i,j}\)。从源点向每一个\(c_i\)连\(b_i-a_i\)的边，割掉这条边意味着点i的要求靠提升\(a_i\)满足；从每一个\(d_{i,j}向d_{i,j-1}连inf的边\)；每一个\(d_{i,j}\)向汇点连边，\(j\leq a_i\)则流量为0，否则为1。最后，对于每一对(x,y)，从\(c_x\)向\(d_{y,b_x}\)连inf的边。这个图的最小割加上输入的时候提升的值就是答案。
正确性证明：发现对于每条最后一种类型的边，这条边是不会割的，为了保证没有剩余流量，要么\(s \to c_x\)的边被割掉，代表提升\(a_x\)来满足要求；要么割掉\(d_{y,p}(p \leq b_x)\)到t的所有边(根据建图，这些边的代价和为\(b_x-a_y\))，代表\(a_y\)至少为\(b_x\)。证毕。
时间复杂度：O(能过)。
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#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define repn(i,n) for(int i=1;i<=n;++i)
#define LL long long
#define pii pair <int,int>
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mpr make_pair
using namespace std;
struct node
{
LL to,flow,rev;
node(LL a,LL b,LL c):to(a),flow(b),rev(c){}
};
namespace maxFlow
{
LL n,dist[100010],cur[100010];
vector <node> g[100010];
queue <LL> q;
void add_edge(LL x,LL y,LL z)
{
g[x].pb(node(y,z,g[y].size()));
g[y].pb(node(x,0,g[x].size()-1));
}
void bfs(LL s)
{
rep(i,n+5) dist[i]=-1;
dist[s]=0;q.push(s);
while(!q.empty())
{
int f=q.front();q.pop();
rep(i,g[f].size())
{
if(dist[g[f][i].to]!=-1||g[f][i].flow==0) continue;
dist[g[f][i].to]=dist[f]+1;
q.push(g[f][i].to);
}
}
}
LL dfs(LL pos,LL t,LL flow)
{
if(pos==t) return flow;
for(int i=cur[pos];i<g[pos].size();++i,++cur[pos])
{
if(g[pos][i].flow==0||dist[g[pos][i].to]!=dist[pos]+1) continue;
LL flow2=dfs(g[pos][i].to,t,min(flow,g[pos][i].flow));
if(flow2>0)
{
g[pos][i].flow-=flow2;
g[g[pos][i].to][g[pos][i].rev].flow+=flow2;
return flow2;
}
}
return 0;
}
LL max_flow(LL s,LL t)
{
LL ret=0;
while(true)
{
bfs(s);
if(dist[t]==-1) return ret;
rep(i,n+5) cur[i]=0;
while(true)
{
LL add=dfs(s,t,1e12);
if(add==0) break;
ret+=add;
}
}
}
}
int n,m,a[110],b[110],x[10010],y[10010],ans=0,X[110],Y[110][110],len=0,ss,tt;
bool isx[110],isy[110];
vector <pii> need;
int main()
{
cin>>n;
rep(i,n) scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
cin>>m;
rep(i,m)
{
scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);--x[i];--y[i];
int least=min(b[x[i]],b[y[i]]);
if(a[x[i]]<least) ans+=least-a[x[i]],a[x[i]]=least;
if(a[y[i]]<least) ans+=least-a[y[i]],a[y[i]]=least;
}
rep(i,m)
{
if(max(a[x[i]],a[y[i]])>=max(b[x[i]],b[y[i]])&&min(a[x[i]],a[y[i]])>=min(b[x[i]],b[y[i]])) continue;
if(b[y[i]]>a[y[i]]) swap(x[i],y[i]);
need.pb(mpr(x[i],y[i]));
isx[x[i]]=true;isy[y[i]]=true;
}
ss=++len;tt=++len;
rep(i,n)
{
if(isx[i])
{
X[i]=++len;
maxFlow::add_edge(ss,X[i],b[i]-a[i]);
}
else if(isy[i])
{
repn(j,100) Y[i][j]=++len;
repn(j,100)
{
if(j+1<=100) maxFlow::add_edge(Y[i][j+1],Y[i][j],1e12);
maxFlow::add_edge(Y[i][j],tt,(j<=a[i] ? 0:1));
}
}
}
rep(i,need.size()) maxFlow::add_edge(X[need[i].fi],Y[need[i].se][b[need[i].fi]],1e12);
maxFlow::n=len;
ans+=maxFlow::max_flow(ss,tt);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
标签：Atcoder,142,rep,题解,LL,flow,110,dist,类点 来源： https://www.cnblogs.com/legendstane/p/16394301.html