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[NOIP2009 提高组] 最优贸易 题解

作者:互联网

题目描述

\(C\) 国有 \(n\) 个大城市和 \(m\) 条道路,每条道路连接这 \(n\)个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 \(m\) 条道路中有一部分为单向通行的道路,一部分为双向通行的道路,双向通行的道路在统计条数时也计为 $1 $条。

\(C\) 国幅员辽阔,各地的资源分布情况各不相同,这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是,同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 \(C\) 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后,便决定在旅游的同时,利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 \(C\) 国 n 个城市的标号从 \(1~ n\),阿龙决定从 \(1\) 号城市出发,并最终在 \(n\) 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中,任何城市可以重复经过多次,但不要求经过所有 \(n\) 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费:他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球,并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球,用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 \(C\) 国旅游,他决定这个贸易只进行最多一次,当然,在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 \(C\) 国有 \(5\) 个大城市,城市的编号和道路连接情况如下图,单向箭头表示这条道路为单向通行,双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 \(1-n\) 号城市的水晶球价格分别为 \(4,3,5,6,1\)。

阿龙可以选择如下一条线路:\(1\)->\(2\)->\(3\)->\(5\),并在 \(2\) 号城市以 \(3\) 的价格买入水晶球,在 \(3\) 号城市以 \(5\) 的价格卖出水晶球,赚取的旅费数为 \(2\) 。

阿龙也可以选择如下一条线路 \(1\)->\(4\)->\(5\)->\(4\)->\(5\),并在第 \(1\) 次到达 \(5\) 号城市时以 \(1\) 的价格买入水晶球,在第 \(2\) 次到达 \(4\) 号城市时以 \(6\) 的价格卖出水晶球,赚取的旅费数为 \(5\)。

现在给出 \(n\) 个城市的水晶球价格,\(m\) 条道路的信息(每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况)。请你告诉阿龙,他最多能赚取多少旅费。

输入格式

第一行包含 \(2\) 个正整数 \(n\) 和 \(m\),中间用一个空格隔开,分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 n 个正整数,每两个整数之间用一个空格隔开,按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。

接下来 \(m\) 行,每行有 \(3\) 个正整数 \(x,y,z\),每两个整数之间用一个空格隔开。如果 \(z=1\),表示这条道路是城市 \(x\) 到城市 \(y\) 有之间的单向道路;如果 \(z=2\),表示这条道路为城市 \(x\) 和城市 \(y\)之间的双向道路。

输出格式

一 个整数,表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易,则输出 \(0\)。

样例输入

5 5 
4 3 5 6 1 
1 2 1 
1 4 1 
2 3 2 
3 5 1 
4 5 2

样例输出

5

对于 100%的数据,\(1≤n≤100000\),\(1≤m≤500000\),\(1≤x\),\(y≤n\),\(1≤z≤2\),\(1≤\)各城市,水晶球价格\(≤100\)。


dp味道很浓,一看却又无从下手,看到存在双向和单向边,果断先选择缩点,再进行观察。

去环以后形成一张DAG图,发现存在关系 \(dp[i]\) 表示前 \(i\) 个点的最大交易,有 \(dp[i]=max(dp[i],max_{scc-w} - min_{scc-w})\) 与当前的连通分量有很强的关系且 \(min\) 是可以传递的,简单的 \(dp\)。

Code.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=5e5+10;
int n,m,h[N],ne[M],e[M],w[N],idx,dfn[N],low[N],nowstep,stk[N],tt,id[N],din[N],maxx[N],minn[N],scc_cnt,f[N],x[M],y[M];
bool in_stk[N];
queue<int> q;
void add(int u,int v) {ne[++idx]=h[u],e[idx]=v,h[u]=idx;}
void tarjan(int u)
{
	dfn[u]=low[u]=++nowstep;
	stk[++tt]=u,in_stk[u]=1;
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
	{
		int j=e[i];
		if(!dfn[j])
		{
			tarjan(j);
			low[u]=min(low[u],low[j]);
		}
		else if(in_stk[j]) low[u]=min(low[u],dfn[j]);
	}
	if(low[u]==dfn[u])
	{
		int y;
		scc_cnt++;	
		do
		{
			y=stk[tt--];in_stk[y]=0;
			id[y]=scc_cnt;
			minn[scc_cnt]=min(minn[scc_cnt],w[y]);
			maxx[scc_cnt]=max(maxx[scc_cnt],w[y]);	
		}while(y!=u);
	}
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int opt,u,v;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&opt);
		x[i]=u,y[i]=v;
		if(opt==1) add(u,v);
		else add(u,v),add(v,u);
	}
	for(int i=0;i<=n;i++) minn[i]=0x3f3f3f,maxx[i]=-0x3f3f3f;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!dfn[i]) tarjan(i);
	idx=0;memset(h,-1,sizeof h);
	for(int i=1;i<=m;i++)
        if(id[x[i]]!=id[y[i]]) add(id[x[i]],id[y[i]]),din[id[y[i]]]++;
	q.push(id[1]);
	f[id[1]]=max(f[id[1]],maxx[id[1]]-minn[id[1]]);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
		{
			int j=e[i];din[j]--;
			minn[j]=min(minn[j],minn[u]);
			f[j]=max(f[j],max(maxx[j]-minn[j],f[u]));
			if(!din[j]) q.push(j);
		}
	}
	printf("%d",f[id[n]]);
	return 0;
}

标签:int,题解,城市,NOIP2009,scc,道路,low,最优,水晶球
来源: https://www.cnblogs.com/EastPorridge/p/16376875.html