Diary & Solution Set - 多校度假
作者：互联网
\(\mathscr{Summary}\sim6.14\)
总结等会儿写，好像要走了。
\(\mathscr{A}\sim\) 区间第 \(k\) 小
给定 \(n,m\) 和序列 \(\{a_n\}\)。\(q\) 次询问，每次给出 \(l,r,k\)，求将 \(a[l:r]\) 中所有出现次数多于 \(m\) 次的数替换为 \(n\) 后，\(a[l:r]\) 中第 \(k\) 大的值。强制在线。
\(0\le a_i<n,q\le10^5\)。
Tags:「A.扫描线」「A.数据结构-树套树」
原题指明了形如 \(m=5\times10^3\) 和 \(m=10\) 之类的限制，通过迷惑选手增加题目难度属于是。
先忽略在线，考虑扫描线，从左到右扫描元素，设当前扫描到 \(p\)，\(a_p=x\)，其最近若干次出现位置为 \(i_0,i_1,i_2,\cdots,i_m,i_{m+1}=p\)，那么当左端点 \(l\in(i_1,i_{m+1}]\) 时，\(x\) 的出现次数会在原来的基础上 \(+1\)；当 \(l\in(i_0,i_1]\) 时，本来 \(x\) 在 \([l,r]\) 的出现次数为 \(m\)，但是 \(p\) 让其出现次数超过 \(m\)，所以将 \(l\in(i_0,i_1]\) 时 \(x\) 的出现次数置为 \(0\)（即 \(-m\)）。可以用权值线段树维护这一过程。
强制在线？主席树套主席树即可，毕竟 \(1\text{G}\) 随便用。复杂度 \(\mathcal O(n\log^2n)\)。
\(\mathscr{B}\sim\) 求和
定义积性函数 \(f_k(p^c)=(-1)^c[c\le k]\)，求
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^mf_k(\gcd(i,j))\bmod 2^{30}. \]\(n\le10^{10}\)，\(m\le40\)。
Tags: 「A.数学-数论」「A.数学-Min_25 筛」「A.数学-Powerful Number 筛法」
基础化简：
\[\begin{aligned} \textit{ans} &= \sum_{k=1}^m\sum_{d=1}^nf_k(d)\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}[i\perp j]\\ &= \sum_{k=1}^m\sum_{d=1}^nf_k(d)\left(2\sum_{i=1}^{n/d}\varphi(i)-1\right). \end{aligned} \]后面反手杜教筛，现在式子长成
\[\textit{ans}=\sum_{k=1}^m\sum_{d=1}^nf_k(d)g(n/d). \]你大可以直接莽 Min_25，\(\mathcal O\left(\frac{mn^{3/4}}{\log n}\right)\) 能过。
发现 \(f_k(p)=\mu(d)\)，这个时候就很激动地想到 Powerful Number。考虑一下 Powerful Number 搜索过程中对函数值的维护，可以用一个 bit 表示某个 \(f\) 的点值，popcount 一下也能快速求出 \(\sum_k f_k(x)\)。然后类似于杜教筛的优化方法，线性筛（貌似需要再容斥一下）求出 \(f\) 前 \(n^{2/3}\) 个点值，后续的前缀和再用 Powerful Number 算。可以得到 \(\mathcal O(n^{2/3})\) 的算法。（更具体地，可以说是 \(\mathcal O(n^{2/3}\frac{m}{\omega})\)，但 \(m\) 小得可怜 w。）
\(\mathscr{C}\sim\) 树
给定一棵含有 \(n\) 个结点的树，点 \(u\) 有点权 \(a_u\)，初始为 \(0\)。每次操作指定路径 \(P(u,v)\)，对于 \(e=\lang x,y\rang\in P(u,v)\)，若 \(x<y\)，令 \(a_x\gets a_x+1,a_y\gets a_y+1\)；否则令 \(a_x\gets a_x-1,a_y\gets a_y-1\)。给出最终的点权，构造操作方案。先最小化操作次数 \(m\)，再最小化 \((u,v)\) 序列的字典序。
\(n\le10^6\)，保证 \(m\le n\)。
Tags: 「B.贪心」「C.性质/结论」
被诈骗了 /jk
注意操作的可合并性，若点 \(u\) 是某个操作的起点，则其一定不是另一个操作的终点，反之亦然。此外，通过考虑每条边被经过的次数，可以发现用每个点作起点（\(+1\)）/终点（\(-1\)）的次数集合可以唯一描述操作的效果。我们只需要求出这一集合，然后贪心构造字典序最小的操作即可。
如何求呢？还是将子树作为贪心的子结构。令 \(f(u)\) 表示在放置最少的路径的情况下，从 \(u\) 向上走的路径条数（若为负，则是向下走）；\(g(u)\) 表示 \(u\) 作起点的次数。设 \(u\) 的父亲为 \(w\)，孩子们为 \(v\)，那么
\[f(u)=([u<w]-[w<u])\left(a_u-\sum_v([v<u]-[u<v])f(v)\right),\\ g(u)=f(u)-\sum_vf(v). \]\(\mathcal O(n)\) 即完成所有工作。
标签：Set,mathscr,sum,Powerful,Solution,Number,次数,Diary,mathcal 来源： https://www.cnblogs.com/rainybunny/p/16375383.html