2022高考全国乙卷理科数学选择第12题

作死挑战高考数学题！！！！

不过居然挑战成功了！！！

已知定义域为 \(\mathbb R\) 的函数 \(f(x)\)，\(g(x)\)，满足 \(f(x)+g(2-x)=5\)，\(g(x)-f(x-4)=7\)，若 \(y=g(x)\) 的图像关于直线 \(x=2\) 对称，\(g(2)=4\)，则 \(\sum_{k=1}^{22}f(k)=\)

A. -21

B. -22

C. -23

D. -24

由 \(f(x)+g(2-x)=5\) 得 \(f(x)=5-g(2-x)\)，由 \(g(x)-f(x-4)=7\) 得 \(f(x-4)=g(x)-7\) 从而 \(f(x)=g(x+4)-7\)

所以有 \(f(x)=\frac{1}{2}(5-g(2-x)+g(x+4)-7)=\frac{1}{2}(g(x+4)-g(x+2))-1\)，

以及 \(g(x+4)-7=5-g(2-x)\)，所以 \(g(x+4)+g(x+2)=12\)，换下标得 \(g(x)+g(x+2)=12\)。

那么 \(\sum_{k=1}^{22} f(x)=-22+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{22}(g(k+4)-g(k+2))\)。

由于 \(g(x)+g(x+2)=12\)，所以上面的式子有很多 \(12\) 可以抵消掉，得 \(-22+\frac{1}{2}(g(5)+g(6)-g(3)-g(4))\)。

注意到当 \(x=1\) 时有 \(g(1)=g(3)\) 且 \(g(1)+g(3)=12\)，所以 \(g(1)=g(3)=6\)，\(f(5)=12-g(3)=6\)。

因为 \(g(2)=4\) 所以有 \(g(4)=12-g(2)=8\)，\(g(8)=12-g(6)=4\)。

所以 \(-22+\frac{1}{2}(g(5)+g(6)-g(3)-g(4))=-24\)。

故选 D。

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