cf550 D. Regular Bridge

题意：

给定 \(k\)，构造连通、无重边、无自环、每个点的度为 \(k\) 且含至少一个桥的无向无权图

\(1\le k \le 100\)

思路：

当 \(k\) 为偶数时无解：设 \(k=2s\)，设某连通块 \(G\) 与图的其他部分通过桥 \(e\) 连接，去掉桥 \(e\)，则 \(G\) 中有一个点的度为 \(2s-1\)，其他点的度为 \(2s\)。则 \(G\) 中所有点的总度数为奇数，根据握手定理这是不可能的。

当 \(k\) 为奇数时一定有解。这样构造：

一共 \(2k+4\) 个点，两个连通块，每个连通块中有 \(2k+4\) 个点。

考虑第一个连通块，其中的点编号为 \(1\sim k+2\)

第一个连通块中的点分为三种：\(1\) 号点、\(2\sim k\) 号点、\(k+1\) 和 \(k+2\) 两点

\(1\) 号点与另一个连通块相连，然后与 \(2\sim k\) 号点相连；

\(k+1\) 号点与 \(2\sim k\) 号点相连，\(k+2\) 号也是。然后把 \(k+1\) 和 \(k+2\) 连起来；

\(2\sim k\) 号点两两相连，但是删除形如 “\(i -i+1\)，$i $ 为偶数” 的边

int k; vector<PII> edges;
void make(int base) { // 1, 2~k, k+1,k+2
    for(int i = 2; i <= k; i++) edges.pb({1+base,i+base}),
        edges.pb({k+1+base,i+base}), edges.pb({k+2+base,i+base});
    for(int i = 2; i < k; i++)
        for(int j = i + 1; j <= k; j++)
            if(!(j - i == 1 && j % 2))
                edges.pb({i+base,j+base});
    edges.pb({k+1+base,k+2+base});
}
void sol() {
    cin >> k;
    if(k % 2 == 0) return cout << "NO", void();
    if(k == 1) return cout << "YES\n2 1\n1 2", void();
    cout << "YES\n" << 2*k+4 << ' ';
    edges.pb({1,k+3}); make(0), make(k+2);
    cout << edges.size() << endl;
    for(auto &[x,y]: edges) cout << x << ' ' << y << endl;
}

标签：Bridge,cf550,2s,int,连通,Regular,相连,sim,号点
来源： https://www.cnblogs.com/wushansinger/p/16349553.html