DTOJ #5864. 排队 题解
作者：互联网
T1 排队(queue)
求长度为 \(n\) 的排列，有 \(m\) 个峰的方案数。
可以暴力打出 \(n\le 10\) 的情况，然后把数据放到 oeis 上。
显然可以递推。我们记 f[n][k] 表示长度为 \(n\) 的排列有 \(m\) 个峰的方案数。
考虑在 f[n-1] 的基础上考虑加入一个 \(n\)。
- 如果 \(n\) 放在某个峰的左/右，峰的数量不会改变，显然有
f[n][k] += 2 * k * f[n-1][k]。 - 如果不是在峰的左右，必然会增加一个峰，显然有
f[n][k] += (n - 2 * (k-1)) * f[n-1][k-1]。
然后就做完了。并且可以发现 f[n][1] = pow(2, n-1)。
注意到 \(n\le10^9\) 显然是不可以线性递推的。
考虑加速递推的经典做法之一，矩阵快速幂。
考虑原始矩阵：
\[\begin{bmatrix} f_{n-1,1} & f_{n-1,2} & \cdots & f_{n-1,m} \end{bmatrix} \]然后乘上转移系数：
\[\begin{bmatrix} 2 & n-2 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 4 & n-4 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 6 & \cdots & 0\\ \vdots &\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2m \end{bmatrix} \]然后发现转移系数居然和 \(n\) 有关。可以考虑再加一维
注意到模数 \(P\le1000\)，可以发现矩阵中的系数最多有 \(P\) 种，所以处理出前 \(P\) 种矩阵，就可以直接做了。
标签：题解,矩阵,cdots,bmatrix,5864,考虑,DTOJ,递推,vdots 来源： https://www.cnblogs.com/lingfunny/p/16342400.html