6.1 线性映射
作者：互联网
前面我们从矩阵乘法出发定义了线性映射，现在来尝试为线性映射对应矩阵（最好是唯一的）。如果能建立这样的等价关系，则一方面，对抽象的矩阵乘法，我们可以用映射去理解它；另一方面，对于任何线性映射，我们都可以用矩阵完全涵盖它的性质——毕竟相比于映射中各种各样的描述，矩阵是更“标准”的性质（毕竟只由规格和具体位置的元素组成）。这将为我们的研究带来极大的方便。
我们从线性性质出发定义线性映射：\(m,n\) 维线性空间\(U,V\)，如果映射\(\mathscr{A}:U\rightarrow V\) 具有以下线性性质
\[\mathscr{A}(u_1+u_2) = \mathscr{A}(u_1) + \mathscr{A}(u_2),\\ \mathscr{A}(\lambda\cdot u_1) = \lambda\cdot\mathscr{A}(u_1), \]则称映射\(\mathscr{A}\) 为线性映射 linear mapping，当\(U=V\) 时称为线性变换 linear transformation。
正如在解析几何中那样，坐标是联系几何与代数的有力工具，在有限维线性空间中，我们也为向量定义坐标。\(m\)维线性空间\(U\)，基\(M_1 = \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\}\)，向量\(U\ni \alpha = a_1\alpha_1+ a_2\alpha_2+ \cdots a_m\alpha_m\) ，在基下的线性表示的系数\((a_1, a_2, \cdots ,a_m)\) 称为向量\(\alpha\) 在基\(M_1\) 下的坐标 coordinate。
有了坐标，我们可以开始着手探索线性映射\(\mathscr{A}:U\rightarrow V\) 的矩阵。为了表达方便，我们分别为\(U,V\) 的基\(M_1,M_2\) 定义从向量到坐标的映射$\sigma_1:\alpha \mapsto \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_m \end{bmatrix}^T \(，\)\sigma_2:\beta \mapsto \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{bmatrix}^T \(，可以验证，二者也是线性映射。对于\)U$ 中的任意向量\(\alpha\)，我们来观察它的坐标经历\(\mathscr{A}\) 后发生了什么变化：（为了方便，我们将基当作行向量进行运算）
\[\begin{aligned} \mathscr{A}(\alpha) &= \mathscr{A}(\sigma_1(\alpha)M_1) \\ &= \mathscr{A}(a_1\alpha_1+ a_2\alpha_2+ \cdots a_m \alpha_m) \\ &= a_1\mathscr{A}(\alpha_1) + a_2\mathscr{A}(\alpha_2) + \cdots + a_m\mathscr{A}(\alpha_m)\\ &= a_1\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_1))M_2 + a_2\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_2))M_2 \\ &+ \cdots + a_m\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_m))M_2 \end{aligned} \]最后得到的
\[a_1\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_1)) + a_2\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_2)) + \cdots + a_n\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_m)) \]即为向量\(\alpha\) 的像 基\(M_2\) 下的坐标，但这个形式看起来还是很繁琐，我们把它写成矩阵的形式
\[\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha)) = \sigma_1(\alpha)\cdot \begin{bmatrix} \sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_1)) &\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_2)) &\cdots &\sigma_2(\mathscr{A}(\alpha_m)) \end{bmatrix} \]我们称右边的矩阵为\(\mathscr{A}\) 在基\(M_1,M_2\) 下的矩阵。
上面的探索过程，其实已经证明了线性映射有“唯一”的矩阵与之对应，不过这里的唯一对应着固定的一对基，也就是说，对于同一个线性映射，不同的基产生不同的矩阵，后面我们将研究这些矩阵的关系。
目前，对于给定的基，我们建立了线性映射空间\(L(U,V)\) 到矩阵空间 \(\mathbb{F}^{m\times n}\) 的双射，所以我们可以把矩阵的运算搬过来用到线性映射上。
标签：映射,mathscr,矩阵,6.1,线性,alpha,sigma 来源： https://www.cnblogs.com/hanghunghung/p/16339793.html