[AcWing 878] 线性同余方程

复杂度 $ O(log(n)) $

总体复杂度 $ 10^{5} \times log(2 \times 10^{9}) \approx 4 \times 10^{6} $

#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long LL;

int exgcd(int a, int b, int & x, int & y)
{
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n --) {
        int a, b, m;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &m);
        int x, y;
        int d= exgcd(a, m, x, y);
        if (b % d)     puts("impossible");
        else    printf("%d\n", (LL)x * (b / d) % m);
    }
    return 0;
}

1. 转化为扩展欧几里得算法
   $ a \times x \equiv b \ (\bmod m) $ ，可以写成 $ a \times x = m \times y + b $ ，移项 $ a \times x - m \times y = b $ ，可以把负号写到 $ y $ 中，即 $ a \times x + m \times y = b $ ，由裴蜀定理可知当 $ b $ 是 $ a $ 和 $ m $ 最大公约数 $ gcd(a, m) $ 的倍数时，方程有解，至此，成功把线性同余方程转换成为扩展欧几里得问题
   ① 若 $ b $ 不是 $ a $ 和 $ m $ 最大公约数 $ gcd(a, m) $ 的倍数，说明方程无解
   ② 若 $ b $ 是 $ a $ 和 $ m $ 最大公约数 $ gcd(a, m) $ 的倍数，则问题等价于求出一组 $ x' $ 和 $ y' $ ，使得 $ a \times x' + m \times y' = gcd(a, m) $ ，最后把方程两边同时乘以 $ \frac{b}{gcd(a, m)} $ 就是 $ a \times x + m \times y = d $ ，即 $ x = x' \times \frac{b}{gcd(a, m)} $ ，最后再 $ \bmod m $

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来源： https://www.cnblogs.com/wKingYu/p/16259639.html