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1. 题目描述

2. Solution 1

1、思路分析
定义两个函数
G(n): 长度为n的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。
F(i, n): 以i为根、序列长度为n的不同二叉搜索树个数(1 <= i <= n)
G(n) = sum{F(i, n)} i in [1, n]
对于边界情况，当序列长度为1(只有根)或为0(空树): G(0) = 1, G(1) = 1

左子树个数 G(i - 1)，右子树个数G(n - i) ==> F(i, n) = G(i - 1) * G(n - i)
综上:
G(n) = sum{G(i - 1) * G(n - i)} i in [1, n]

2、代码实现

package Q0099.Q0096UniqueBinarySearchTrees;

/*
  定义两个函数
  G(n): 长度为n的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。
  F(i, n): 以i为根、序列长度为n的不同二叉搜索树个数(1 <= i <= n)
  G(n) = sum{F(i, n)} i in [1, n]
  对于边界情况，当序列长度为1(只有根)或为0(空树): G(0) = 1, G(1) = 1

  左子树个数 G(i - 1)，右子树个数G(n - i) ==> F(i, n) = G(i - 1) * G(n - i)
  综上:
  G(n) = sum{G(i - 1) * G(n - i)} i in [1, n]

  时间复杂度: O(n^2) 空间复杂度: O(n)
*/
public class Solution {

    public int numTrees(int n) {
        int[] G = new int[n + 1];
        G[0] = G[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
            }
        }
        return G[n];
    }
}

3、复杂度分析
时间复杂度: O(n^2)
空间复杂度: O(n)

3. Solution 2

1、思路分析
事实上，方法一推导出的G(n)函数的值在数学上被称为卡塔兰数。便于计算定义如下:
C(0) = 1, G(n + 1) = 2(2n+1) / (n + 2) * G(n)

2、代码实现

package Q0099.Q0096UniqueBinarySearchTrees;

/*
  事实上，方法一推导出的G(n)函数的值在数学上被称为卡塔兰数。便于计算定义如下:
  C(0) = 1, G(n + 1) = 2(2n+1) / (n + 2) * G(n)
  时间复杂度 O(n)，空间复杂度O(1)
*/
public class Solution1 {
    public int numTrees(int n) {
        long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            C = C * 2 * (2L * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int) C;
    }
}

3、复杂度分析
时间复杂度: O(n)
空间复杂度: O(1)

标签：Binary,Search,int,复杂度,个数,Trees,二叉,序列,public
来源： https://www.cnblogs.com/junstat/p/16227191.html