【动态规划】力扣474：一和零()

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
示例：

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

这道题和经典的背包问题非常相似，但是和经典的背包问题只有一种容量不同，这道题有两种容量，即选取的字符串子集中的 0 和 1 的数量上限。
经典的背包问题可以使用二维动态规划求解，两个维度分别是物品和容量。这道题有两种容量，因此需要使用三维动态规划求解，三个维度分别是字符串、0 的容量和 1 的容量。
定义三维数组 dp，其中 dp[i][j][k] 表示在前 i 个字符串中，使用 j 个 0 和 k 个 1 的情况下最多可以得到的字符串数量。假设数组 str 的长度为 l，则最终答案为 dp[l][m][n]。
当没有任何字符串可以使用时，可以得到的字符串数量只能是 0，因此动态规划的边界条件是：当 i=0 时，对任意 0≤j≤m 和 0≤k≤n，都有 dp[i][j][k]=0。
当 1≤i≤l 时，对于 strs 中的第 i 个字符串（计数从 1 开始），首先遍历该字符串得到其中的 0 和 1 的数量，分别记为 zeros 和 ones，然后对于 0≤j≤m 和 0≤k≤n，计算 dp[i][j][k] 的值。
当 0 和 1 的容量分别是 j 和 k 时，考虑以下两种情况：dp[i][j][k] = dp[i−1][j][k]；
如果 j≥zeros 且 k≥ones，则如果不选第 i 个字符串，有 dp[i][j][k] = dp[i−1][j][k]，如果选第 i 个字符串，有 dp[i][j][k]=dp[i−1][j−zeros][k−ones]+1，dp[i][j][k] 的值应取上面两项中的最大值。
因此状态转移方程如下：

class Solution:
    def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:

        length = len(strs)
        dp = [[[0] * (n+1) for _ in range(m+1)] for _ in range(length+1)]

        for i in range(1, length+1):
            c0 = strs[i-1].count('0')       # 当前字符串中0的数目
            c1 = len(strs[i-1]) - c0        # 当前字符串中1的数目
            for j in range(m+1):            # 第二层循环：0的背包容量
                for k in range(n+1):        # 第三层循环：1的背包容量
                    if j < c0 or k < c1:    # 无法添加当前字符串
                        dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]
                    else:                   # 可选或不选当前字符串，取两者之间的较大值
                        dp[i][j][k] = max( dp[i-1][j][k], dp[i-1][j-c0][k-c1] + 1 )

        return dp[length][m][n]

作者：flix
链接：https://leetcode-cn.com/problems/ones-and-zeroes/solution/by-flix-a384/

时间复杂度：O(l⋅(m⋅n+M))，其中 l 是字符串数组 strs 的长度，M 是每个字符串的平均长度。
空间复杂度：O(l⋅m⋅n)。

由于 dp[i][][] 的每个元素值的计算只和 dp[i−1][][] 的元素值有关，因此可以使用滚动数组的方式，去掉 dp 的第一个维度，将空间复杂度优化到 O(mn)。
实现时，内层循环需采用倒序遍历的方式，这种方式保证转移来的是 dp[i−1][][] 中的元素值。状态转移方程为：
dp[j][k]=max{dp[j][k],dp[j−zeros][k−ones]+1}

class Solution:
    def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:

        length = len(strs)
        dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]

        for s in strs:                              # 枚举字符串
            c0 = s.count('0')                       # 当前字符串中0的数目
            c1 = len(s) - c0                        # 当前字符串中1的数目
            for j in range(m, c0-1, -1):            # 第二层循环倒序：0的背包容量
                for k in range(n, c1-1, -1):        # 第三层循环倒序：1的背包容量
                    if j < c0 or k < c1:            # 无法添加当前字符串
                        dp[j][k] = dp[j][k]
                    else:                   # 可选或不选当前字符串，取两者之间的较大值
                        dp[j][k] = max( dp[j][k], dp[j-c0][k-c1] + 1 )

        return dp[m][n]

作者：flix
链接：https://leetcode-cn.com/problems/ones-and-zeroes/solution/by-flix-a384/

时间复杂度：O(lmn+L)，其中 l 是数组 strs 的长度，m 和 n 分别是 0 和 1 的容量，L 是数组 strs 中的所有字符串的长度之和。动态规划需要计算的状态总数是 O(lmn)，每个状态的值需要 O(1) 的时间计算。对于数组 strs 中的每个字符串，都要遍历字符串得到其中的 0 和 1 的数量，因此需要 O(L) 的时间遍历所有的字符串。总时间复杂度是 O(lmn+L)。
空间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是 0 和 1 的容量。使用空间优化的实现，需要创建 m+1 行 n+1 列的二维数组 dp。

标签：c0,容量,strs,力扣,range,474,字符串,动态,dp
来源： https://www.cnblogs.com/Jojo-L/p/16191537.html