「LTIME107」Odd Split

「LTIME107」Odd Split

给定 \(N\) 和模数 \(\text{mod}\)，对于 \(n=1\sim N\) 计算：

• 有多少个大小为 \(n\) 的排列 \(P\)，满足它可以被划分成两个子序列，使得两个子序列的逆序对数均为奇数。

\(1\le N\le 10^6,10^8\le \text{mod}\le 10^9\)，保证 \(\text{mod}\) 是奇数。

Solution

我们从反面考虑，计数不存在 Odd Split 的排列。

对于一个排列 \(P\)，我们将其划分成尽可能多的块，使得相邻两块间右边元素均大于左边元素（即将 \(\text{premax}(i)<\text{sufmin}(i+1)\) 的位置断开）。

这样做的好处是不同块之间无逆序对的贡献，因此对于每一块分别做，最后可以任意拼接。

对于块 \(A_1,A_2,\cdots,A_k\)，考虑构建一张 \(k\) 个点的图，点 \(i\) 和点 \(j\) 之间有连边当且仅当 \(i<j\) 且 \(a_i>a_j\)。

首先这张图一定是形成若干个连续段，其次因为已经保证了“尽可能多的块”，所以这张图连通。

我们对于 \(A\) 的逆序对奇偶性分类讨论：

1. 逆序对数为奇数

• 很显然，我们可以构造一个空序列，一个 \(A\) 得到 \((0,1)\)；

• 若无法构造出 \((0,0)\)，则说明删除任意一个 \(A_i\) 均会导致剩余的序列逆序对数为奇数。

  因此，对于 \(\forall i\)，\(\text{deg}_i\) 为偶数。我们来证明这是充要条件：

  • 对于两个子序列 \(S_1,S_2\)，我们可以通过 \(A,\{\}\) 初始状态每次将 \(S_2\) 中的元素从 \(A\) 挪到 \(\{\}\) 得到。每次将一个节点挪到另一个子序列，两个子序列逆序对奇偶性要么均改变，要么均不变。所以不会出现 \((0,0)\)。

• 若无法构造出 \((1,1)\)，则说明删除任意一对 \(A_i>A_j\ (i<j)\) 的 \((i,j)\) 均会导致剩余的序列逆序对数为偶数。

  因此，\(\text{deg}_i+\text{deg}_j-1\) 为奇数，即 \(\text{deg_i}\) 和 \(\text{deg_j}\) 奇偶性相同。

  由于图连通，说明所有点的 \(\text{deg}\) 奇偶性均相同。偶数的情况上面已经讨论过了，下面讨论奇数。

  首先因为度数和必为偶数，因此 \(k\) 是偶数。对于两个子序列 \(S_1,S_2\)，我们可以通过 \(A,\{\}\) 初始状态每次将 \(S_2\) 中的元素从 \(A\) 挪到 \(\{\}\) 得到。每次将一个节点挪到另一个子序列，恰好有一个子序列的逆序对奇偶性改变。

  于是，我们得到：

  • 若 \(|S_1|,|S_2|\) 为奇数，则它们奇偶性相同；
  • 若 \(|S_1|,|S_2|\) 为偶数，则它们奇偶性不同。

  因为构造不出 \((1,1)\)，所以充要条件是不存在一个奇数长度的子序列，满足它的逆序对数为奇数。

  考虑图上三个点 \(i,j,k\)：

  • 不能同时存在 \((i,j),(j,k),(i,k)\) 三条边，即不存在奇环，因此图是二分图；
  • 不能只有 \((i,j)\) 或只有 \((j,k)\) 或只有 \((i,k)\)，因此图是完全二分图。

  记 \(A_m\) 是最大值，那么我们得到 \(A_1,\cdots,A_m\) 是左部点，\(A_{m+1},\cdots,A_k\) 是右部点，并且两部分均是有序的，长度均为奇数，且它们刚好形成了一个循环移位。容易验证，它与充要条件相吻合。

2. 逆序对数为偶数

• 很显然，我们可以构造一个空序列，一个 \(A\) 得到 \((0,0)\)；

• 若无法构造出 \((0,1)\)，类似可以得到所有点 \(\text{deg}\) 为偶数；

• 若无法构造出 \((1,1)\)，类似可以得到 \(\text{deg}_i\) 和 \(\text{deg}_j\) 奇偶性不同。

  因此如果 \(\text{deg}_i\) 和 \(\text{deg}_j\) 同奇偶，它们不能是逆序对。

  对于两个子序列 \(S_1,S_2\)，我们可以通过 \(A,\{\}\) 初始状态每次将 \(S_2\) 中的元素从 \(A\) 挪到 \(\{\}\) 得到。每次将一个节点挪到另一个子序列，如果这个点 \(\text{deg}\) 是奇数，那么恰好有一个子序列逆序对奇偶性改变；否则，两个子序列逆序对奇偶性要么同时改变要么同时不变。

  因此充要条件是不存在一个子序列，满足有偶数个点 \(\text{deg}\) 为奇数，且子序列的逆序对数为奇数。

  考虑图上三个点 \(i,j,k\)，满足 \(\text{deg}_i\) 为偶数，\(\text{deg}_j,\text{deg}_k\) 为奇数：

  • 由于 \(\text{deg}\) 同奇偶的不是逆序对，因此图是二分图；

  • 不能只有 \((i,j)\) 或只有 \((i,k)\)，因此图是完全二分图。

  类似的，\(A_1,\cdots,A_m\) 是左部点，\(A_{m+1},\cdots,A_k\) 是右部点，并且两部分均是有序的，长度恰好一个奇数（事实上， 由于 \(\text{deg}\) 为偶数的这部必须长度是偶数，否则度数和是奇数了，所以至多也只有一个），且它们刚好形成了一个循环移位。同样容易验证它与充要条件相吻合。

现在考虑合并块，我们总的来看：

• type 1：大小为 \(1\) 的块只能构造出 \((0,0)\)；
• type 2：循环移位块，满足至少有一部长度为奇数，只能构造出 \((0,0)\) 和 \((0,1)\)；
• type 3：如果块内所有点 \(\text{deg}\) 均为偶数：
  • 若块逆序对数为奇数，只能构造出 \((0,1)\)；
  • 若块逆序对数为偶数，只能构造出 \((0,0)\) 和 \((1,1)\)。
• type 4：其余情况，所有情况都能构造出。

那么可能的情形也寥寥无几了：

• 只有若干个 type 1

  那么显然只有 \(1\) 种可能，排列为 \(1,2,\cdots,n\)。

• 只有一个 type 2，和若干个 type 1

  设 \(0\le A<B<C\le n\)，其中 \(B-A\) 和 \(C-B\) 中至少一个奇数，则排列为 \([1,A],(B,C],(A,B],(C,n]\)。

• 只有一个 type 3 且块逆序对数为奇数，和若干个 type 1

  这说明奇数在奇数位置，偶数在偶数位置，并且原排列逆序对数为奇数。

对于第二种情形，可以简单容斥一下 \(\mathcal O(1)\) 计算。

对于第三种情形，容易发现原排列逆序对数为奇数和偶数的刚好对半平分。这是因为我们可以通过交换 \(P_1,P_3\) 使得逆序对奇偶性改变建立双射。

时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

标签：奇数,text,奇偶性,偶数,Split,逆序,LTIME107,Odd,deg
来源： https://www.cnblogs.com/wlzhouzhuan/p/16155471.html