随机游走004 | 等公交车问题，Do it right now or never ？

0. 引言

本科的时候我们的教学楼和宿舍不在一个园区，往返的方式大致有步行、乘坐公交车、骑自行车三类。其中骑自行车车自然是最快捷的一种方式，但遇上冬天天冷风大，或是下雨天时，往往会考虑其他两种通勤方式。乘坐公交车大概是3分钟路程，速度最快，但缺点是要等，等待时间存在一定的不确定性，甚至因为校门口排队等公交的人太多了，你必须等到第二辆公交车才能上车；而步行大概是12分钟路程，纯速度而言最慢。

于是，每次中午放学走出校门时，看着公交站一群排队等车的同学，我便陷入了一阵纠结。是排队等公交车会公寓？还是步行回公寓？如果我等了一会儿公交车没来，我是应该继续等待，还是走人？

在Ross的随机过程教材中，我找到了一个把这个问题抽象为了有关愿意等待时间\(s\)的决策问题的习题。

1. 模型

假设从公交站到公寓步行需要\(W\)时间，公交车从公交站到公寓需要\(R\)时间，按照统计学中的传统假定，到达公交站的公交车数是一个泊松过程，不妨假设其速率是\(\lambda\)，那么公交车到站的间隔时间\(\tau\)便是均值为\(1/\lambda\)的指数随机变量。等车策略是，我愿意为公交车等待\(s\)时间，如果\(s\)时间内等到公交车，我就乘坐公交车会公寓；如果\(s\)时间内没等到公交车，我就步行回公寓。

记我到公交站后等公交车的时间为随机变量\(T\)，由于指数分布具有无记忆性，那么假设在我到达公交站之前，上一辆公交车已经离开公交站\(\tau_0\)时间了，有\(P(T>t)=P(T>t|\tau>\tau_0)P(\tau>\tau_0+t|\tau>\tau_0)=P(\tau>t)\)，等车时间\(T\)也是均值为\(1/\lambda\)的指数随机变量。

记我总的返回公寓时间为\(H\)，则根据我的等待策略有：

\[H=\begin{cases}W+s,&T>s\\R+T,&T\leq s\end{cases} \]

如果我足够“理性”，我的最优目标应该是最小化我的期望返回时间\(E[H]\)。

2. 策略

首先计算\(E[H]\)，\(E[H]\)是一个关于意愿等待时间\(s\)的函数。

\[\begin{align*}E[H]&=E[(W+s)I_{\{T>s\}}]+E[(R+T)I_{\{T\leq s\}}]\\ &=(W+s)P(T>s)+\int_0^s(R+T)f(T)dT\\&=(W+s)e^{-\lambda s}+\int_0^s(R+T)(1-\lambda e^{-\lambda T})dT\\&=R+1/\lambda+(W-R-1/\lambda)e^{-\lambda s},\quad s\geq0. \end{align*} \]

由于

\[\frac{\part E[H]}{\part s}=-\lambda(W-R-1/\lambda)e^{-\lambda s}, \]

那么，若\(W<R+1/\lambda\)，\(\part E[H]/\part s>0\)，\(E[H]\)关于\(s\)单调递增，\(\arg\min_{s\geq0}E[H]=0\)；

若\(W>R+1/\lambda\)，\(\part E[H]/\part s<0\)，\(E[H]\)关于\(s\)单调递减，\(\arg\min_{s\geq0}E[H]=\infty\)；

若\(W=R+1/\lambda\)，\(\part E[H]/\part s=0\)，\(E[H]\equiv R+1/\lambda\)。

于是，我们的最佳等待策略只需要考虑\(s=0\)或者\(s=\infty\)的情况即可。从期望的角度来说，步行耗时\((W)\leq\)乘车耗时\((R)\)+期望等车时间\((1/\lambda)\)，我就选择步行会公寓；否则就选择一直等待，知道等到车为止。如果我对\(W,R,1/\lambda\)一无所知，我要知道只有两种策略可能能达最短的返回时间——要么一直等公交，要么一秒也不在公交站停留。

3. 反思

等公交问题似乎在告诫我们一个道理，“Do it right now or never !”——要么做，要么永远不做。当我已经在公交站等待\(s_0\)时间时，由于\(T\)的无记忆性，继续等下去\(T-s_0|T\geq s_0\)的期望仍然是\(1/\lambda\)，因此如果此时离开\((s=s_0)\)，则\(E[H|T\geq s_0]=W+s_0>W\)，自然不如一开始就不等公交车(\(s=0\))；而若继续等待\((s=\infty\),s.t.\(s>s_0,\forall s_0\geq0)\)，则\(E[H|T\geq s_0]=s_0+1/\lambda+R\)，才有可能使得\(E[H|T\geq s_0]<W\)。

然而，“理性人考虑边际收益，忽略沉没成本”，当我已经在公交站等待了一段时间\(s_0\)后，我是否一定要坚持等下去呢的理由呢？实际上，这事问题转化为求\(\arg\min_{s\geq s_0}E[H|T>s_0]\)，同样因为指数分布的无记忆性，我们只需考虑\(s=s_0\)或\(s=\infty\)的情况即可。也就是说在等待了任意长的时间后，我们的决策还是两个，要走，要么继续等，都有可能最小化此时的期望返回时间。

\[\min_{s\geq s_0} E[H|T\geq s_0]=\begin{cases}W+s_0&W<R+1/\lambda\\s_0+1/\lambda+R&W\geq R+1/\lambda\end{cases} \]

特别是如果在等待过程中，你理清了\(W,R,\lambda\)的关系，发现\(W<R+1/\lambda\)，那么根据期望最小原则，就应该不再等待公交车。当\(s_0=0\)时，有以下特例：

\[\min_{s\geq 0} E[H]=\begin{cases}W&W<R+1/\lambda\\1/\lambda+R&W\geq R+1/\lambda\end{cases} \]

也许，下次当我遇到类似的等公交车问题时，我会提前算好\(W、R、1/\lambda\)，然后根据最小化期望原则，一次性制定是否等待公交车的策略。当然，我们的模型是真实世界的抽象，还存在一些局限性：

1. 实际中我们的效用函数不一定是期望，可能更加复杂；
2. \(W\)、\(R\)可能不是常数，而是随机变量；
3. 公交车的到达可能满足一个非齐次泊松过程，或者是一个更一般的更新过程；
4. 即使假设完全正确，决策还是可能不是最优的，因为它只能达到期望最优/概率最优。

最后总结一句，这个模型主要涉及到泊松过程/指数分布的无记忆性、条件期望计算。之所以不存在一个大于0的有限最优等待时间，是因为从期望的角度出发，若此刻还没等到车时，则等到车的期望时间不会随着已等时间的延长而缩短。但是，也正因为指数分布的无记忆性，在任意一个还没等到车的时刻，你选择不再等待、步行返回，都有可能是此时的最佳选择。

标签：tau,geq,right,期望,公交车,Do,never,公交站,lambda
来源： https://www.cnblogs.com/yecheng97/p/16154818.html