数论模运算以及快速幂小解

来到数论王国，一切都得重新开始啦

模运算，顾名思义，对一个数进行取模运算，在大数运算中，模运算是常客

如果一个数太大无法直接输出，或者是不需要直接输出，可以对他进行取模缩小数值在输出

我们习惯这样写：a%b=c

取模的结果一般满足于0<=c<=m-1,m一般是题目给的数据范围

而对于取模操作，满足一下的性质：

(a+b)%c=((a%c)+(b%c))%c;

(a-b)%c=((a%c)-(b%c))%c;

(a*b)%c=((a%c)*(b%c))%c;

而除法就不行了，除法如果进行上面的取模操作是错误的，

那怎么办呢？对于除法取模操作，在同余和逆元中会展开讲解，这里我李某人先讲讲所谓的基本数论操作

那取模运算我们就算讲完了，接下来我们来讲讲所谓的快速幂运算

幂运算我们老生常谈，而快速幂就为了快速解决幂次运算的，当一个数很大的时候进行幂次运算的时候，一般两种情况：要么炸，要么超时

我们可以采取一下两种办法来解决这个问题：

一、

我们可以很容易想到，先算a^2,在a^2^2，一直算到结束，我们可以用递归分治的思想来解决

long long fastpow(long long a,long long b)
{
    if(b==0)
    return 1;
    long long temp=(fastpow(a,b/2));//分治递归了
    if(b%2==1)//如果是奇数次，还要多乘一个
    return (temp*temp*a);
    else //偶数次正好乘完
    return (temp*temp);
}

这种方法是较为好想到的；

我们再来介绍另外一种方法--其实也是老生常谈了，只不过换了一个形式--我们在多重背包中所见的二进制优化

将a^11分解成a^8,a^2,a^1的乘积

而a^2=a^1*a^1,a^4=a^2*a^2；

a^8同理，都是二的倍数，产生的a^i都是倍数关系，一步一步递归就可以了

另一方面，我们在分解像n这样的数字的时候，我们也可以采取二进制的思想，我们很清楚 ，对于二进制来说，二进制的前一位数字的值都比低一位的数字的值多2倍；

举个例子来讲；

我们用10进制来表示11；

那对应的2进制就是1011；

就可以表示成2^3+2^1+2^0

还有一个需要考虑的是，对于二进制中的0，我们可以采用二进制中的位运算的方法来跳过：

（1）n&1,如果不是1，就直接跳了就

标签：取模,return,运算,数论,小解,long,lld,fastpow
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