12个小球称3次找次品

\(12\) 个乒乓球，有一个次品，不知道次品是更重还是更轻，用一台无砝码的天平称三次，找出次品，并告知次品到底是重了还是轻了，请问该怎么做？

首先，将乒乓球均分为 \(3\) 组，设为 \(4A,4B,4C\)，

第一次：左边 \(4B\)，右边 \(4A\) 称重。

如果等重：

​ 则次品一定在 \(4C\) 里。

​ 第二次：左边 \(4C\) 里随便选 \(3\) 个，右边 \(4A\) 里随便选 \(3\) 个称重。

​ 如果等重：\(4C\) 中剩下的是次品。

​ 第三次：任选一个正常乒乓球称下就知道次品是轻了还是重了。

​ 否则：我们就会知道次品到底是重了还是轻了。

​ 第三次：只需要从 \(3C\) 里任选两个一左一右称一下即可，如果两个等重，剩下的是次品；否则根据轻重判断出次品。

否则：

​ 则次品一定在 \(4A\) 或者 \(4B\) 里。

​ 第二次：取 \(4B\) 中 \(2\) 个、\(4A\) 中 \(3\) 个、\(C\) 中 \(3\) 个，左边 \(2B2A\)，右边 \(3C1A\) 称重。

​ 如果等重：则次品在剩下的 \(1A2B\) 中。

​ 第三次：取 \(2B\) 称一称，等重则次品为剩下的 \(1A\)，同时根据第一次不等重可以判断出是轻了还是重了；否则在 \(2B\) 中，同样根据根据第一次不等重判断出结果。

​ 否则：情况稍微特殊一点，需要分类讨论一下：如果此时天平的倾斜情况和第一次相同，则次品在左边的 \(2B\) 或者右边的 \(1A\) 中；否则次品在左边的 \(2A\) 中。

证明：反证法，如果第一次和第二次倾斜情况相同，且次品在左边的 \(2A\) 中，那么第一次的倾斜是由右边的 \(4A\) 中的某个次品产生的，第二次的倾斜是由左边的 \(2A\) 中的某个次品产生的，倾斜情况应该相反才对，与前提矛盾，故得证。

​ 接下来，如果倾斜情况相同：

​ 第三次：\(2B\) 一左一右称一下，如果等重，则次品为 \(1A\)，根据第一次不等重判断轻了还是重了；否则，同样根据第一次不等重一眼看出次品。

​ 如果倾斜情况不同：

​ 第三次：\(2A\) 一左一右称一下，根据第一次不等重一眼看出次品。

问题解决了~

换个思路思考，考虑每一次称量的情况可以得到的信息：

第一次：

称 \(11,22\) 肯定是寄的；

称 \(33\)，如果平，可以知道次品在 \(6\) 个中；不平，可以知道次品在 \(6\) 个中，获得一次不对称，\(33\) 时不平获得的信息量更大；

称 \(44\)，如果平，可以知道次品在 \(4\) 个中；不平，可以知道次品在 \(8\) 个中，获得一次不对称，信息量都还行；

称 \(55\)，如果平，可以知道次品在 \(2\) 个中；不平，可以知道次品在 \(10\) 个中，获得一次不对称，不平的话直接寄，范围太大了，所以第一次绝对不能 \(55\)。

称 \(66\)，只能获得一次不对称，弟中之弟。

所以第一次只能 \(33\) 或者 \(44\)。

标签：次品,12,不等重,左边,小球,第一次,倾斜,4A
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