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12个小球称3次找次品

作者:互联网

\(12\) 个乒乓球,有一个次品,不知道次品是更重还是更轻,用一台无砝码的天平称三次,找出次品,并告知次品到底是重了还是轻了,请问该怎么做?

首先,将乒乓球均分为 \(3\) 组,设为 \(4A,4B,4C\),

第一次:左边 \(4B\),右边 \(4A\) 称重。

如果等重:

​ 则次品一定在 \(4C\) 里。

​ 第二次:左边 \(4C\) 里随便选 \(3\) 个,右边 \(4A\) 里随便选 \(3\) 个称重。

如果等重:\(4C\) 中剩下的是次品。

​ 第三次:任选一个正常乒乓球称下就知道次品是轻了还是重了。

否则:我们就会知道次品到底是重了还是轻了。

​ 第三次:只需要从 \(3C\) 里任选两个一左一右称一下即可,如果两个等重,剩下的是次品;否则根据轻重判断出次品。

否则:

​ 则次品一定在 \(4A\) 或者 \(4B\) 里。

​ 第二次:取 \(4B\) 中 \(2\) 个、\(4A\) 中 \(3\) 个、\(C\) 中 \(3\) 个,左边 \(2B2A\),右边 \(3C1A\) 称重。

如果等重:则次品在剩下的 \(1A2B\) 中。

​ 第三次:取 \(2B\) 称一称,等重则次品为剩下的 \(1A\),同时根据第一次不等重可以判断出是轻了还是重了;否则在 \(2B\) 中,同样根据根据第一次不等重判断出结果。

否则:情况稍微特殊一点,需要分类讨论一下:如果此时天平的倾斜情况和第一次相同,则次品在左边的 \(2B\) 或者右边的 \(1A\) 中;否则次品在左边的 \(2A\) 中。

证明:反证法,如果第一次和第二次倾斜情况相同,且次品在左边的 \(2A\) 中,那么第一次的倾斜是由右边的 \(4A\) 中的某个次品产生的,第二次的倾斜是由左边的 \(2A\) 中的某个次品产生的,倾斜情况应该相反才对,与前提矛盾,故得证。

接下来,如果倾斜情况相同:

​ 第三次:\(2B\) 一左一右称一下,如果等重,则次品为 \(1A\),根据第一次不等重判断轻了还是重了;否则,同样根据第一次不等重一眼看出次品。

​ 如果倾斜情况不同:

​ 第三次:\(2A\) 一左一右称一下,根据第一次不等重一眼看出次品。

问题解决了~

换个思路思考,考虑每一次称量的情况可以得到的信息:

第一次:

称 \(11,22\) 肯定是寄的;

称 \(33\),如果平,可以知道次品在 \(6\) 个中;不平,可以知道次品在 \(6\) 个中,获得一次不对称,\(33\) 时不平获得的信息量更大;

称 \(44\),如果平,可以知道次品在 \(4\) 个中;不平,可以知道次品在 \(8\) 个中,获得一次不对称,信息量都还行;

称 \(55\),如果平,可以知道次品在 \(2\) 个中;不平,可以知道次品在 \(10\) 个中,获得一次不对称,不平的话直接寄,范围太大了,所以第一次绝对不能 \(55\)。

称 \(66\),只能获得一次不对称,弟中之弟。

所以第一次只能 \(33\) 或者 \(44\)。

标签:次品,12,不等重,左边,小球,第一次,倾斜,4A
来源: https://www.cnblogs.com/olderciyuan/p/16138461.html