同余最短路

什么神仙算法

这类问题的关键在于建模，头大了，主要总结几个题的思路技巧吧。

（标题有 Link）

P3403 跳楼机

明显的楼层数只能在 \([1,k]\) 之间，因为可以回到第一层，那么问题转化一下：

满足 \(ax+by+cz \equiv i \pmod k\) 的 \(i\) 有几个。

对于每一个 \(i\) ，我们可以把它表示为 \(i=xn+m\)，\(m\) 为余数，可以用 \(y,z\) 去凑出 \(m\) 这个余数，任何可以在 \([0,x-1]\) 范围内统计余数就可以得出楼层数，设 \(dis[i]\) 表示用若干个 \(y,z\) 能组成的余数（或者说能到达的位置，余数 \(\in (0,x-1]\)），对于余数 \(m\) ，通过加一个 \(y\) 能到达余数 \(j\) ，则一定满足 \((m+y) \bmod x=j\)，可以这么说，余数从 \(i\) 到 \(j\) 需要走的路径长度为 \(y\)。

所以这样连边：

\[Add\_edge(m,(m+y)\bmod a,y) \]

\[Add\_edge(m,(m+z)\bmod a,z) \]

跑一遍最短路，得到了 \([0,x)\) 范围内的能组成的余数 \(dis[i],i\in[0,x)\)

因为 \(x\) 可能比 \(k\) 大，所以只选取余数比 \(k\) 小的部分，看 \(k-dis[i]\) 中有几个 \(a\) 统计贡献即可，\(+1\) 是为了加上 \(dis\) 本身这个位置。

\[Ans=\displaystyle \sum_{m=0}^{a-1}(\frac{h-dis_m}{a}+1) \]

/*
Knowledge : Rubbish Algorithm
Work by :Gym_nastics
Time : O(AC)
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+6;

int read() {
    int x=0,f=0;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) f|=(ch=='-');
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);
    return f?-x:x;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+48);
}

bool vis[N];
int dis[N],head[N],cnt;struct node{int v,w,nxt;}e[N];
void Add_edge(int u,int v,int w){e[++cnt]=(node){v,w,head[u]};head[u]=cnt;}

int h,a,b,c;

void SPFA(){
    queue<int>q;memset(dis,INF,sizeof dis);
    dis[1]=1;q.push(1);vis[1]=true;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();vis[u]=false;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){int v=e[i].v;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].w){
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                if(!vis[v]) q.push(v),vis[v]=true;
            } 
        }
    }
}

signed main() {
   h=read();a=read();b=read();c=read();if(a==1 or b==1 or c==1) return print(h),0;
   for(int i=0;i<a;i++)Add_edge(i,(i+b)%a,b),Add_edge(i,(i+c)%a,c);
   SPFA();int Ans=0; 
   for(int i=0;i<a;i++)if(h>=dis[i]) Ans+=(((h-dis[i])/a)+1);
   return print(Ans),0;
}

AT3621 [ARC084B] Small Multiple

是个人都知道暴力不可过……

需要知道一点的是：一个数通过不停 \(+1\) 和 \(\times 10\) 能构成任何数，并且 \(+1\) 对和的影响是 \(0\)，\(\times 10\) 的影响是 \(0\)，设 \(dis[i]\) 表示 \(x \bmod k=i\) 的最小数字和，则 \(dis[0]\) 表示整除的情况。那就比较简单了。

\[Add\_edge(i,i+1,1) \]

\[Add\_edge(i,(i\times 10)\bmod k,0) \]

注意 \(1\) 的数字和是 \(1\)，跑一遍最短路。

/*
Knowledge : Rubbish Algorithm
Work by :Gym_nastics
Time : O(AC)
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+6;

int read() {
    int x=0,f=0;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) f|=(ch=='-');
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);
    return f?-x:x;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+48);
}

int head[N],cnt;struct node{int v,w,nxt;}e[N];
void Add_edge(int u,int v,int w){e[++cnt]=(node){v,w,head[u]};head[u]=cnt;}
int k;int dis[N];bool vis[N];

void SPFA(){
    memset(dis,INF,sizeof dis);
    dis[1]=1;vis[1]=1;queue<int>q;q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].v;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].w){
                dis[v]=dis[u]+e[i].w;
                if(!vis[v]) vis[v]=1,q.push(v);
            }
        }
    }
}

signed main() {
   k=read();
   for(int i=1;i<k;i++) 
   Add_edge(i,(i+1)%k,1),Add_edge(i,(i*10)%k,0);
   SPFA();print(dis[0]);                                 
   return 0;
}

标签：head,ch,int,短路,vis,余数,同余,dis
来源： https://www.cnblogs.com/BlackDan/p/16120952.html