关于因数个数的估计

根据知乎提问：n的正因子个数d(n)有没有上界公式？ 的某一篇回答：

依次进行正因子个数的上界估计。

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根据常规 64 位 C++ 编译器，已定义好的最大可处理数字为无符号 128 位数。

由 \(\lg 2^{128}={128\ln 2\over \ln 10}=38.531839444989586\) 得到，数字大小最大为 \(10^{38}\) 数量级。

代入该公式，设 \(f=1.0660186782978\) ，则 \(d(n)\leq n^{f\over \ln\ln n}\) 。

根据因子成对出现的性质，显然有 \(d(n)=O(n^{1\over 2})\) 。

故接下来对能覆盖到 \(10^38\) 范围内的数字，因子数量复杂度低于该数量级的数字进行讨论。

若使得因子数量复杂度为 \(O(n^{1\over a})\) 级别，则 \({1\over a}={f\over \ln\ln n}\) 得到 \(n=\exp(\exp(af))\) 。

而 \(2^{128}\) 范围内的数字大小，只要求解 \(a\leq {\ln \ln n\over f}=4.207728658657603\) 范围内的数即可。

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根据上文分析，写出 Python 代码打表得到：

from math import exp, log, ceil
a = [i/10 for i in range(21, 51)]
f = 1.0660186782978
n = [exp(exp(aa*f)) for aa in a]
n = [ceil(e) for e in n]

\(a\)	\(n\)
\(2.1\)	\(11856\)
\(2.2\)	\(34057\)
\(2.3\)	\(110164\)
\(2.4\)	\(406654\)
\(2.5\)	\(1738652\)
\(2.6\)	\(8753504\)
\(2.7\)	\(52858714\)
\(2.8\)	\(390750565\)
\(2.9\)	\(3617538165\)
\(3.0\)	\(43018071794\)
\(3.1\)	\(675839548956\)
\(3.2\)	\(14474296668132\)
\(3.3\)	\(437571976063337\)
\(3.4\)	\(19410620857790028\)
\(3.5\)	\(1319171636936014848\)
\(3.6\)	\(144104189927338721280\)
\(3.7\)	\(26690167107950257111040\)
\(3.8\)	\(8894458890575846435717120\)
\(3.9\)	\(5697405341997788647173128192\)
\(4.0\)	\(7550015955759005359048004468736\)
\(4.1\)	\(22461913631953170755494748583100416\)
\(4.2\)	\(164317515616056148597455376191261245440\)
\(4.3\)	\(3270497494682288794799613260950708804386816\)
\(4.4\)	\(198214662250587109063189970365898976532065419264\)
\(4.5\)	\(41461937722482761448087520167641851535323560255946752\)
\(4.6\)	\(34409205992524455515778659230163786754610455634792033550336\)
\(4.7\)	\(132293413178812347006722650584299826975433146756991096170492198912\)
\(4.8\)	\(2799892201280858664472213212371129133650677178454238324834614224481157120\)
\(4.9\)	\(395194263901491273419274306768477718805938427492517290376062592684198196427096064\)
\(5.0\)	\(460517803377513163733349009956995900794800533418947767169497969779647974517564244404207616\)

标签：10,ln,over,个数,因子,因数,估计,exp,128
来源： https://www.cnblogs.com/JustinRochester/p/16066569.html