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一些公式和定理

作者:互联网

公式&定理:

  1. 两个互为反演的关系矩阵互逆

  2. 二项式反演 1

    \(\large F(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} G(i) \Longleftrightarrow G(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i \binom{n}{i}F(i)\)

  3. 二项式反演 2(对于形式1进行基本反演推论的应用)

    \(\large F(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} G(i) \Longleftrightarrow G(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} \binom{n}{i}F(i)\)

  4. 二项式反演 3(对于形式2的矩阵进行转置)

    \(\large F(n) = \displaystyle\sum_{i=n} \binom{i}{n} G(i) \Longleftrightarrow G(n)=\sum_{i=n}(-1)^{n-i} \binom{i}{n}F(i)\)

  5. 二项式反演 4(对于形式3移动-1的幂)

    \(\large F(n) = \displaystyle\sum_{i=n} (-1)^i \binom{i}{n} G(i) \Longleftrightarrow G(n)=\sum_{i=n}(-1)^i \binom{i}{n}F(i)\)

  6. min-max 反演

    \(\max(S)=\displaystyle\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T)\)

    \(\min(S)=\displaystyle\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\max(T)\)

  7. 在期望下的 min-max 容斥

    \(E(\max(S))=\displaystyle\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min(T))\)

  8. 第 k 大

    \(Kth\max(S)=\displaystyle\sum_{T\subseteq S}F(|T|)\min(T)\)

  9. 斯特林反演

    \(F(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^n \large\left\{^n_i\right\}G(i)\Longleftrightarrow G(n) = \sum_{i=0}^n(-1)^{(n-i)} \large[^n_i]F(i)\)

    \(F(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \large\left\{^n_i\right\}G(i)\Longleftrightarrow G(n) = \sum_{i=0}^n \large[^n_i]F(i)\)

    \(F(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^n \large\left\{^n_i\right\}G(i)\Longleftrightarrow G(n) = \sum_{i=0}^n(-1)^{(i-n)} \large[^n_i]F(i)\)

    \(F(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^n (-1)^{i-n} \large\left\{^n_i\right\}G(i)\Longleftrightarrow G(n) = \sum_{i=0}^n \large[^n_i]F(i)\)

  10. 集合反演:

    \(\displaystyle\sum_{S \subseteq U}\mu(S)=[U=\varnothing]\)

    \(F(S)=\displaystyle\sum_{T \subseteq S}f(T) \Longleftrightarrow f(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S-T|}F(S)\)

    \(F(S)=\displaystyle\sum_{S \subseteq T}f(T) \Longleftrightarrow f(S)=\sum_{S \subseteq T}(-1)^{|T-S|}F(S)\)

  11. 单位根反演:

    \([n|a]=\frac{1}n\sum_{k=0}^{n-1}w^{ak}_n\)

标签:Longleftrightarrow,公式,定理,large,反演,sum,一些,subseteq,displaystyle
来源: https://www.cnblogs.com/dryayst/p/16061823.html