平衡树Treap
作者：互联网
treap：
treap=tree+heap，树+堆
也就是说，这个东西是个树，但是满足堆的性质。
前置知识：
BST二叉搜索树：
若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。
也就是说，你把它从根节点中序遍历一边就能得到一个从小到大的数列。
大概长这样子：
对于4：左边子树节点的权值为0 1 2 3，都比4小，右边子树节点的权值为5 6 7，都比4大。
对于1：左边子树节点权值为0，比1小，右边子树节点权值为2 3，比1大（且比4小）。
对于其他节点同理。
一个不难理解的东西。
堆：
priority_queue。。。
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
这里就不再手写堆了，‘’
回过头来：
根据BST的定义我们可以知道，任意选取一个数做为根节点，在整个数列中一定能找到比他小的数和比他大的数（或者其中一个不存在），同样的，对于它的子树也是根节点不确定的。
有些毒瘤！ 出题人会拿duliu数据把BST卡成一条链，然后多次询问，复杂度直接爆炸。
那么为了均摊一下BST的深度，使得每次询问时间复杂度都接近logn的话，我们需要对它进行一系列操作：
赋权值：
我们随机为每一个节点赋值一个权值pri，对于pri我们要求pri低的深度小，也就是小根堆的性质，因为rand每次都随机的话是可以均摊一下节点的深度（具体的原理我还一时半会说不清。。感性李姐）
如何调整节点使得其满足堆序：
在节点插入时，和bst一样建立，找到自己节点应该在的位置，当当前节点为空时，建立新节点，rand它的pri后返回，对其进行左右旋转操作。
左旋：就是把根节点转移到其左子节点的位置，并维护BST。
方法：直接上图：
我们可以按照红线的方法来划分子树；
这样就是上面的一条链和下面的又子节点的子树两部分了。
旋转后，绿色节点到达根节点位置，也就是把整条链往左拽了一下；子树换了父亲，认左边的节点为爸爸了：
就这样完了。
右旋：换个方向搞左旋。
删除节点：
删除时，如果该节点对应size>1，则size--，否则将其权值pri赋为inf或者清空。之后我们可以通过比较左右子树pri的大小决定谁做新的根（为了满足堆的性质，单数不管是左子树根节点还是右子树根节点做新的根，都不会影响BST性质，感性模拟），之后根节点就变成了原来左子树/右子树中的一员，继续递归下去，直到成为叶节点，也就是这一段开头说的那句话的情况。之后我们就可以直接删除它了。
求前驱后继：
一个数x的前驱定义为小于这个数的最大的数。后继就是大于等于这个数的最小的数。
理解如何递归：
以前驱举例子，因为要找小于这个数的最大的数，那么肯定到左子树去找；
如果当前节点大于等于根节点的值，到左子树里面找；
如果当前节点空的，返回inf，
else，如果当前节点的val<x 则返回max(v,去右子树递归的返回值)；
else，说明答案还在左子树里面，那么就到左子树去找。
原理基本讲解完毕。
例题 ：【模板】普通平衡树
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
using namespace std;
#define lovelive long long
int tot;
int pos[100020];
int p[100020];
map <int,int> s;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > so;
struct question
{
int num,x;
}q[100020];
struct tree
{
int l,r,sum;
}t[400020];
void buildtree(int i,int l,int r)
{
t[i].l=l;
t[i].r=r;
if(l==r)
{
pos[l]=i;
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
buildtree(i<<1,l,mid);
buildtree(i<<1|1,mid+1,r);
}
void insert(int i,int point)
{
t[i].sum++;
int mid=(t[i].l+t[i].r)>>1;
if(t[i].l==t[i].r)
return ;
if(point>mid)
insert(i<<1|1,point);
else
insert(i<<1,point);
}
void Delete(int i,int point)
{
t[i].sum--;
int mid=(t[i].l+t[i].r)>>1;
if(t[i].l==t[i].r)
return ;
if(point>mid)
Delete(i<<1|1,point);
else
Delete(i<<1,point);
}
int find_num(int i,int x)
{
if(t[i].l==t[i].r)
return t[i].l;
if(x>t[i<<1].sum)
find_num(i<<1|1,x-t[i<<1].sum);
else
find_num(i<<1,x);
}
int query(int i,int l,int r)
{
if(r<t[i].l||l>t[i].r)
return 0;
if(r>=t[i].r&&l<=t[i].l)
return t[i].sum;
return query(i<<1,l,r)+query(i<<1|1,l,r);
}
int find_rank(int x)
{
return query(1,1,x-1)+1;
}
int find_pre(int x)
{
int p=find_rank(x);
return find_num(1,p-1);
}
int find_next(int x)
{
int p=find_rank(x);
return find_num(1,p+t[pos[x]].sum);
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&q[i].num,&q[i].x);
if(q[i].num!=4)
so.push(q[i].x);
}
int point = -2e9-1;
while(!so.empty())
{
if(so.top()!=point)
++tot;
s[so.top()]=tot;
p[tot]=so.top();
point=so.top();
so.pop();
}
buildtree(1,1,tot);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(q[i].num!=4)
q[i].x=s[q[i].x];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
switch(q[i].num)
{
case 1:insert(1,q[i].x);break;
case 2:Delete(1,q[i].x);break;
case 3:cout<<find_rank(q[i].x)<<"\n";break;
case 4:cout<<p[find_num(1,q[i].x)]<<"\n";break;
case 5:cout<<p[find_pre(q[i].x)]<<"\n";break;
case 6:cout<<p[find_next(q[i].x)]<<"\n";break;
}
}
return 0;
}
标签：左子,子树,int,Treap,权值,平衡,include,节点 来源： https://www.cnblogs.com/spaceswalker/p/15973512.html