Atcoder 241

Atcoder 241

\(Ex. Card Deck Score\)

题意

给定\(N\)种物品，每种物品价值为\(A_i\)，个数为\(B_i\)。现在要选取\(W\)个物品，设第\(i\)种物品选了\(K_i\)个，那么一种选法的总价值就是\(\prod_{i=1}^nA_i^{k_i}\)，现在要你求所有方案的总价值和。答案对\(998244353\)取模

\(1\le N\le 16\) \(1\le W\le 10^{18}\) \(1\le A_i\le 998244353\) \(1\le B_i\le 10^{17}\)

保证\(A_i\)两两互不相等。

Sol

容易写出生成函数为\(F(x)=\prod_{i=1}^n\sum_{j=0}^{B_i}(A_ix)^j=\prod_{i=1}^n\frac{1-(A_ix)^{B_i+1}}{1-A_ix}\)

由于\(N\)最大为\(16\)，所以分子可以在\(O(2^n)\)内求出所有项的系数，由于我们需要的是\([x^W]F(x)\)，但分式不好计算，考虑乘积项。

考虑部分分式分解：\(\frac{1}{\prod_{i=1}^n(1-A_ix)}=\frac{c_1}{1-A_1x}+\frac{c_2}{1-A_2x}+...+\frac{1}{1-A_nx}\)

设当前求系数\(c_j\)，那么将上面的式子变形为\(\frac{1}{\prod_{i=1\ and \ i!=j}^n(1-A_ix)}=\frac{c_1(1-A_jx)}{1-A_1x}+\frac{c_2(1-A_jx)}{1-A_2x}+...c_j+...+\frac{c_n(1-A_jx)}{1-A_nx}\)

取\(x=A_j^{-1}\)，在模\(998244353\)意义下，\(1-A_jA_j^{-1}=0\)。那么上式变为\(c_j=\frac{1}{\prod_{i=1\ and \ i!=j}^n(1-A_iA_j^{-1})}\)

又\(\frac{c_i}{1-A_ix}=c_i\sum_{j=0}^{\infty}(A_ix)^j\)，用级数展开。

则\(F(x)=\prod_{i=1}^n\frac{1-(A_ix)^{B_i+1}}{1-A_ix}=\prod_{i=1}^n(1-(A_ix)^{B_i+1})\sum_{i=1}^nc_i\sum_{j=0}^{\infty}(A_ix)^j\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int P = 998244353;
using i64 = long long;
i64 power(i64 a, i64 b) {
    i64 res = 1LL;
    for (; b; b /= 2, a = a*a%P) {
        if (b % 2) {
            res =res*a%P;
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
   ios::sync_with_stdio(false);
   cin.tie(nullptr);
   int n;
   i64 m;
   cin>>n>>m;
   vector<i64>A(n),B(n),p(1<<n),coef(1<<n);
   coef[0]=1LL;
   for(int i=0;i<n;i++)
   {
     cin>>A[i]>>B[i];
     B[i]++;
     i64 x=(-power(A[i],B[i])+P)%P;
     for(int j=0;j<1<<i;j++)
        coef[(1<<i)|j]=coef[j]*x%P,
        p[(1<<i)|j]=p[j]+B[i];
   }

   vector<i64>c(n);
   for(int i=0;i<n;i++)
   {
       i64 x=power(A[i],P-2);
       c[i]=1LL;
       for(int j=0;j<n;j++)
        if(j!=i) c[i]=c[i]*(1-A[j]*x%P+P)%P;
        c[i]=power(c[i],P-2); 
   }
   //for(int i=0;i<n;i++) cout<<c[i]<<" ";
   i64 res=0;
   for(int s=0;s<(1<<n);s++)
   {
      if(p[s]>m) continue;
      //cout<<p[s]<<'\n';
      i64 x=0;
      for(int i=0;i<n;i++)
        x=(x+power(A[i],m-p[s])*c[i]%P)%P;
    
      res=(res+x*coef[s]%P)%P;
   }
   cout<<res<<'\n';
   return 0;
   
}

待更

标签：Atcoder,le,frac,ix,int,i64,241,prod
来源： https://www.cnblogs.com/Arashimu0x7f/p/15968702.html