LGP4916口胡
作者：互联网
第一眼，Burnside 直接丢上去啊。
设 \(f(n,m)\) 是有 \(n-m\) 个白色珠子和 \(m\) 个白色珠子的满足题意的环的个数，容易得到答案是：
\[\sum_{d|n,d|m}f(\frac{n}{d},\frac{m}{d})\varphi(d) \]考虑左边这个 \(f\) 怎么做。
我们将环断开，枚举前缀和后缀的黑色珠子个数，有：
\[f(n,m)=\sum_{x+y\leq k,x+y+2\leq n}g(n-x-y-2,m-x-y)=\sum_{i=0}^{\min(k,n-2)}(i+1)\times g(n-i-1,m-i) \]其中 \(g(n,m)\) 为不存在超过 \(k\) 个连续黑色珠子的序列个数，且序列的最后一个元素是白色的。
我们似乎可以接受单次 \(O(n\log n)\) 计算 \(f\) 的算法。
考虑上生成函数。我们强制钦定每一段黑珠子后面跟上一个白珠子（包括 \(0\) 个白珠子），那么一段的 OGF 就是 \(\sum_{i=0}^{k}x^i=\frac{1-x^{k+1}}{1-x}\)。
\(g\) 的单点就是 \(g(n,m)=[x^n](\frac{1-x^{k+1}}{1-x})^{n-m}\)。
写开：
\[g(n,m)=[x^n]\frac{1}{(1-x)^{n-m}}\times(1-x^{k+1})^{n-m} \]\[[x^n](\sum \binom{i+n-m-1}{i})\times(\sum_{i=0}^{n-m}\binom{n-m}{i}x^{(n-m)(k+1)}) \]注意到你在单次处理时，这个 \(n-m\) 是一直不会变的。变的是多项式取哪一项。
直接把这两个东西写开，卷一下就好了。
标签：frac,LGP4916,sum,个数,times,珠子,单次 来源： https://www.cnblogs.com/lmpp/p/15949495.html