由 洛谷 P5461 P1498 引发的杨辉三角形特性思考
作者：互联网
源自洛谷 P5461 https://www.luogu.com.cn/problem/P5461
题目描述
现有 2n * 2n (n <= 10) 名作弊者站成一个正方形方阵等候 kkksc03 的发落。kkksc03 决定赦免一些作弊者。他将正方形矩阵均分为 4 个更小的正方形矩阵，每个更小的矩阵的边长是原矩阵的一半。其中左上角那一个矩阵的所有作弊者都将得到赦免，剩下 3 个小矩阵中，每一个矩阵继续分为 4 个更小的矩阵，然后通过同样的方式赦免作弊者……直到矩阵无法再分下去为止。所有没有被赦免的作弊者都将被处以棕名处罚。
给出 n，请输出每名作弊者的命运，其中 0 代表被赦免，1 代表不被赦免。
输入格式
一个整数 n。
输出格式
2n * 2n 的 01 矩阵，代表每个人是否被赦免。数字之间有一个空格。
输入
3
输出
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
这道题引发了我的一些思考，这道题固然可以递归做，不停的递归四个小正方形矩阵，并将左上角清零，直到无法再划分小正方形矩阵为之。
但是我们观察这个矩阵，我们可以惊讶的发现，这个矩阵的右半部分，正是杨辉三角的值%2的结果，于是我们可以有代码：
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[1050][1050];
int main()
{
int n;
cin >> n;
n = 1 << n;
a[0][n+1] = 1;
for (int i = 1;i <= n;i ++)
{
for (int j = 1;j <= n;j ++)
{
a[i][j] = a[i-1][j]%2 + a[i-1][j+1]%2;
cout << (a[i][j]%2) << ' ';
}
cout << endl;
}
return 0;
}
值得注意的是：
1. 1 << n 的含义为把1按二进制左移n位，即2的n次方
2. 当n较大时，会爆int，所以我们在状态转移的时候就把结果%2，最后输出答案的时候也%2，这样就不会爆int
3. 当然也可以把 a[i][j] = a[i-1][j]%2 + a[i-1][j+1]%2; 换成 a[i][j] = a[i-1][j] ^ a[i-1][j+1]; 这样输出答案的时候就不用%2
4. ^ 为异或运算符，0 ^ 0 = 1, 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1, 1 ^ 0 = 1
同样的有洛谷 P1498 南蛮图腾 ，此题也可以用杨辉三角形的 %2 特性做
https://www.luogu.com.cn/problem/P1498
题目描述
自从到了南蛮之地，孔明不仅把孟获收拾的服服帖帖，而且还发现了不少少数民族的智慧，他发现少数民族的图腾往往有着一种分形的效果，在得到了酋长的传授后，孔明掌握了不少绘图技术，但唯独不会画他们的图腾，于是他找上了你的爷爷的爷爷的爷爷的爷爷……帮忙，作为一个好孙子的孙子的孙子的孙子……你能做到吗？
输入格式
每个数据一个数字，表示图腾的大小（此大小非彼大小） n<=10
输出格式
这个大小的图腾
输入#1
2
输出#1
/\ /__\ /\ /\ /__\/__\
输入#2
3
输出#2
/\
/__\
/\ /\
/__\/__\
/\ /\
/__\ /__\
/\ /\ /\ /\
/__\/__\/__\/__\
可以看出图腾有2的n次方行，而且带有一定的规律：
1. 当行数为奇数时，若对应数字为1，则输出 /\
2. 当行数为偶数时，若对应数字为1，则输出 /__\ 并跳过下个数字继续循环
3. 当对应数字为0时，输出“ ”（即两个空格）
4. 每行的前导空格数量为 2n - i （i为行数）
对应的杨辉三角形%2如下图：
1
1 1
1 0 1
1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
则代码有：
#include<iostream>
using namespace std;
int f[1050][1050];
int main()
{
int n;
cin >> n;
n = 1 << n;
int t = n;
f[0][n+1] = 1;
for (int i = 1;i <= n;i ++)
{
for (int j = 1;j < t;j ++) cout << ' ';
t --;
for (int j = 1;j <= n;j ++)
{
f[i][j] = f[i-1][j]%2 + f[i-1][j+1]%2;
f[i][j] %= 2;
}
bool flag = false;
for (int j = 1;j <= n;j ++)
{
if (f[i][j] == 1) flag = true;
if (f[i][j] == 1 || flag)
{
if ((i % 2 == 1) && f[i][j] == 1) cout << "/\\";
if ((i % 2 == 0) && f[i][j] == 1)
{
cout << "/__\\";
j ++;
}
if (!f[i][j]) cout << " ";
}
}
cout << endl;
}
return 0;
}
标签：__,P5461,洛谷,图腾,输出,int,杨辉三角,2n 来源： https://www.cnblogs.com/mapgm/p/15941410.html