AcWing 197. 阶乘分解（线筛 阶乘分解质因子）

给定整数 N，试把阶乘 N! 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 pi 和 ci 即可。

输入格式
一个整数 N。

输出格式
N! 分解质因数后的结果，共若干行，每行一对 pi,ci，表示含有 pi^ci 项。按照 pi 从小到大的顺序输出。

数据范围
3≤N≤10^6

输入样例：
5

输出样例：
2 3
3 1
5 1

样例解释
5!=120=2^3∗3∗5

题意：

任给一个整数n，让我们将n!分解质因数。将每个质因子及其对应的次数求出。（n<=1e6）

本题思路：（两步骤）

时间复杂度分析：O(n)

1~n中共有n/logn个素数，每一个质数p求取一下它对应的次数,我们按照下面的方法求：

每一个质数算次数都需要 log{p,n} 次，算出来总运算次数是：

log{2,n} + log{3,n} + log{5,n} + ...（每一项都是以质数为底的对数，根据公式一共有n / log{2,n}项）

我们放缩一下，上式 <= n / log{2,n} * log{2,n} = n（n / log{2,n}表示1~n中质数的个数），

我们最后再加上线筛预处理的O(n)，因此这个算法时间复杂度最终是 O(n) 的，总次数大概在2e6，属于合法范围内。

两份代码：一份while，一份for

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e6+10;
int primes[N],cnt;
bool st[N];

void init(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt++] = i;
        
        for(int j=0;primes[j]*i<=n;++j)
        {
            st[primes[j]*i] = true;
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    
    int n;
    cin>>n;
    init(n);
    for(int i=0;i<cnt;++i)
    {
        int t = n;
        int p = primes[i];
        int s = 0;
        while(t>=1) s += t/p, t /= p;
        cout<<primes[i]<<' '<<s<<endl;
    }
    
    return 0;
}

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e6+10;
int primes[N],cnt;
bool st[N];

void init(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for(int j=0;primes[j]*i<=n;++j)
        {
            st[primes[j]*i] = true;
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    
    int n;
    cin>>n;
    init(n);
    for(int i=0;i<cnt;++i)
    {
        int p = primes[i];
        int s = 0;
        for(int j=n; j>=1; j/=p) s+=j/p;
        cout<<primes[i]<<' '<<s<<endl;
    }
    
    return 0;
}

标签：log,int,197,init,分解,阶乘,pi,质数
来源： https://blog.csdn.net/Jacob0824/article/details/122847894