动态规划3:连续子数组类问题
作者:互联网
53. 最大子数组和
本期的几道题目的共同特点都是要在一个数组中找一个连续的数组,以使得目标最大化,我们从这道题入手来分析这类题目该如何求解。
首先是暴力解法,即遍历所有的可能的连续子数组,找最大的和,所有可能的连续子数组有
n
+
(
n
−
1
)
+
(
n
−
2
)
+
⋯
+
1
=
n
(
n
+
1
)
2
n+(n-1)+(n-2)+\cdots+1=\frac{n(n+1)}{2}
n+(n−1)+(n−2)+⋯+1=2n(n+1)
我们可以选择一种恰当的遍历顺序,使得每个连续子数组都不用重新求和,从而使得时间复杂度为
O
(
n
2
)
O(n^2)
O(n2)
//最大子数组和,暴力解法
int maxSubArray(const vector<int>& nums){
int n=nums.size();
if(n==1) return nums[0];
else{
int begin=0;
int end=0;
bool direction=true;//true向右
int maxsum=nums[0];
int sum=nums[0];
while(end-begin<=n-2){
if(direction){
if(end==n-1){
direction=false;
sum+=nums[--begin];
}else{
sum-=nums[begin++];
sum+=nums[++end];
}
}else{
if(begin==0){
direction=true;
sum+=nums[++end];
}else{
sum-=nums[end--];
sum+=nums[--begin];
}
}
maxsum=max(maxsum,sum);
}
return maxsum;
}
}
现在,我们考虑如何用动态规划来解决这个问题。
首先,最大连续数组和 = max ( =\max( =max(以 n u m s [ 0 ] nums[0] nums[0]开头的最大连续数组和,以 n u m s [ 1 ] nums[1] nums[1]开头最大连续数组和 , ⋯ , ,\cdots, ,⋯,以 n u m s [ n − 1 ] nums[n-1] nums[n−1]开头的最大连续数组和)
设 d p [ i ] dp[i] dp[i]是以 n u m s [ i ] nums[i] nums[i]开头的最大连续数组和
那么,对 0 ≤ i ≤ n − 2 0\leq i\leq n-2 0≤i≤n−2,按照 d p [ i ] dp[i] dp[i]的含义,首先应当包含 n u m s [ i ] nums[i] nums[i],然后考虑是否向后延伸,如果 d p [ i + 1 ] < 0 dp[i+1]<0 dp[i+1]<0,说明如果包含 n u m s [ i + 1 ] nums[i+1] nums[i+1],不管后面如何向后延伸,和只会进一步减小,所以 d p [ i ] = n u m s [ i ] dp[i]=nums[i] dp[i]=nums[i],否则,说明向后延伸还有收益, d p [ i ] = n u m s [ i ] + d p [ i + 1 ] dp[i]=nums[i]+dp[i+1] dp[i]=nums[i]+dp[i+1],所以, d p [ i ] = n u m s [ i ] + m a x ( d p [ i + 1 ] , 0 ) dp[i]=nums[i]+max(dp[i+1],0) dp[i]=nums[i]+max(dp[i+1],0),这是这个问题的动态规划迭代方程
显然,我们只需要把dp储存在一个数组当中,从后向前计算,然后在遍历的过程中求出最大值即可
int maxSubArray(const vector<int>& nums){
int n=nums.size();
if(n==0) return 0;
else if(n==1) return nums[0];
else{
vector<int> dp(n,0);
dp[n-1]=nums[n-1];
int maxdp = dp[n-1];
for(int i=n-2;i>=0;i--){
dp[i]=nums[i]+max(0,dp[i+1]);
maxdp=max(maxdp,dp[i]);
}
return maxdp;
}
}
复杂度分析:时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n),空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)
同样地,我们发现整个动态规划的过程只需要用到 d p [ i + 1 ] dp[i+1] dp[i+1],所以,空间复杂度可以进一步优化到 O ( 1 ) O(1) O(1)
\*优化空间复杂度后的动态规划算法*\
int maxSubArray(const vector<int>& nums){
int n=nums.size();
if(n==0) return 0;
else if(n==1) return nums[0];
else{
int dp1=nums[n-1];
int maxdp = dp1;
for(int i=n-2;i>=0;i--){
dp1=nums[i]+max(0,dp1);
maxdp=max(maxdp,dp1);
}
return maxdp;
}
}
如果我们需要确切地找到连续数组的起始位置和终止位置,那么,我们需要利用dp数组进行回溯。
vector<int> maxSubArray(const vector<int>& nums){
int n=nums.size();
if(n==0) return 0;
else if(n==1) return nums[0];
else{
vector<int> dp(n,0);
dp[n-1]=nums[n-1];
int maxdp = dp[n-1];
int maxi = n-1;
for(int i=n-2;i>=0;i--){
dp[i]=nums[i]+max(0,dp[i+1]);
if(dp[i]>maxdp){
maxdp=dp[i];
maxi=i;
}
}
//回溯
int begin=maxi;
int end=maxi;
while(true){
if(end<=n-2){
if(dp[end+1]<0) break;
else end++;
}else break;
}
return {begin,end};
}
}
复杂度分析:时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n),空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)
918. 环形子数组最大和
对环形子数组,我们可以分两种情况看:
- 如果最大和子数组包含 n u m s [ 0 ] nums[0] nums[0]或 n u m s [ n − 1 ] nums[n-1] nums[n−1],那么,我们都可以视为是从整个数组中刨去一个最小和的连续子数组。
不论是上面三种情况中哪种,总的数组和都是蓝色子数组和加上绿色子数组和,要使得蓝色子数组和最大,只需要使得绿色子数组和最小即可,但有一种特殊情况是可能会排除掉整个数组,这样得到的蓝色子数组和为0,当然,还可以一个元素都不取,此时绿色子数组的和为0。
-
如果既不含 n u m s [ 0 ] nums[0] nums[0],也不含 n u m s [ n − 1 ] nums[n-1] nums[n−1],就化为了1到n-2的范围内,求最大子数组和的问题,只需要比较两种情况下的最大和即可
-
实际上,单纯比较以上两种情况的最大和也可能会出问题,比如如果数组的数字全为负数,那么最大和为最大的负数,但是,按上面的算法得到的结果会是0。实际上,如果数组全是负数,那么1到n-2范围内最大子数组和一定是负数,并且反过来推断,如果1到n-2范围内的最大子数组和为负数,假设1到n-2范围内存在一个正数,那么取这个正数作为单独的子数组,其和为正,与最大子数组和为负数矛盾,所以1到n-2范围内一定全是负数,此时,检查第一种情况的最大和,如果不为0,那么不会存在以上的特殊情况,否则,要检查nums[0]和nums[n-1]是否小于0,如果都小于,那么就是触碰到边界条件,则要作特殊处理。
int maxSubarraySumCircular(const vector<int>& nums){
int n=nums.size();
if(n==0) return 0;
else if(n==1) return nums[0];
else if(n==2) return max(nums[0],max(nums[1],nums[0]+nums[1]));
else{
//至少包含一个nums[0]或nums[n-1]的情况,时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)
int sum=0;
for(auto e:nums) sum+=e;
int minsum=nums[n-1];
int dp1=nums[n-1];
for(int i=n-2;i>=0;i--){
dp1=nums[i]+min(0,dp1);
minsum=min(minsum,dp1);
}
minsum=min(0,minsum);
//不包含nums[0]以及nums[n-1]
int sum2;
if(n==3) sum2=nums[1];
else{
sum2=nums[n-2];
dp1=nums[n-2];
for(int i=n-3;i>=1;i--){
dp1=nums[i]+max(0,dp1);
sum2=max(sum2,dp1);
}
}
//排除边界
if(sum2<0&&nums[0]<0&&nums[n-1]<0) return max(sum2,max(nums[0],nums[n-1]));
else return max(sum2,sum-minsum);
}
}
复杂度分析: 时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n),空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)
当然,如果想要获得最大和子数组,则需要保留dp数组进行回溯,回溯方法和上面类似,不再赘述。此时时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n),空间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。
152. 乘积最大子数组
这个问题和最大和子数组问题的最大区别是,负整数乘以负整数也可能是正整数,我们还是以 d p [ i ] dp[i] dp[i]表示为 n u m s [ i ] nums[i] nums[i]为开头的乘积最大的子数组。
如果 n u m s [ i ] = 0 nums[i]=0 nums[i]=0,那么后面无论怎么延伸,乘积都是0, d p [ i ] = 0 dp[i]=0 dp[i]=0
如果 n u m s [ i ] > 0 nums[i]>0 nums[i]>0,如果以 n u m s [ i + 1 ] nums[i+1] nums[i+1]开头的子数组乘积都是0或负数,此时 d p [ i + 1 ] ≤ 0 dp[i+1]\leq 0 dp[i+1]≤0,那么向后延伸只会减小乘积,此时 d p [ i ] = n u m s [ i ] dp[i]=nums[i] dp[i]=nums[i];如果 n u m s [ i + 1 ] nums[i+1] nums[i+1]向后延伸可以为正数,因为这里假定 n u m s [ i ] nums[i] nums[i]都是正整数,因此向后延伸是有好处的,延伸到以 n u m s [ i + 1 ] nums[i+1] nums[i+1]为开头乘积最大的子序列的最后一个元素为止,按照定义, d p [ i ] = n u m s [ i ] × d p [ i + 1 ] dp[i]=nums[i]\times dp[i+1] dp[i]=nums[i]×dp[i+1]
如果 n u m s [ i ] < 0 nums[i]<0 nums[i]<0,如果 n u m s [ i + 1 ] = 0 nums[i+1]=0 nums[i+1]=0,此时向后延伸乘积为0,并且无论如何向后延伸乘积都是0,但比向后延伸的乘积要大,此时, d p [ i ] = 0 dp[i]=0 dp[i]=0,如果 n u m s [ i + 1 ] nums[i+1] nums[i+1]为头向后延伸的乘积可以是负数,那么向后延伸到乘积最小,绝对值最大,设 d p 2 [ i + 1 ] dp2[i+1] dp2[i+1]为以 n u m s [ i + 1 ] nums[i+1] nums[i+1]向后延伸乘积最小的子数组,则 d p [ i ] = n u m s [ i ] × d p 2 [ i + 1 ] dp[i]=nums[i]\times dp2[i+1] dp[i]=nums[i]×dp2[i+1],但如果 d p 2 [ i + 1 ] > 0 dp2[i+1]>0 dp2[i+1]>0,那么无论后面如何延伸,乘积只能变小,那我们的选择是不延伸, d p [ i ] = n u m s [ i ] dp[i]=nums[i] dp[i]=nums[i]
于是我们可以看到,我们还需要另外维护一个dp2,对dp2我们进行同样地讨论:
如果 n u m s [ i ] = 0 nums[i]=0 nums[i]=0,无论后面怎么延伸,乘积都为0, d p 2 [ i ] = 0 dp2[i]=0 dp2[i]=0
如果 n u m s [ i ] > 0 nums[i]>0 nums[i]>0,如果 d p 2 [ i + 1 ] < = 0 dp2[i+1]<=0 dp2[i+1]<=0,如果向后延伸,乘积就为负数或0,不向后延伸,乘积为正数, d p 2 [ i ] = n u m s [ i ] × d p [ i + 1 ] dp2[i]=nums[i]\times dp[i+1] dp2[i]=nums[i]×dp[i+1];如果 d p 2 [ i + 1 ] > 0 dp2[i+1]>0 dp2[i+1]>0,向后延伸乘积会进一步增大, d p 2 [ i ] = n u m s [ i ] dp2[i]=nums[i] dp2[i]=nums[i]
如果 n u m s [ i ] < 0 nums[i]<0 nums[i]<0,如果 d p [ i + 1 ] = 0 dp[i+1]=0 dp[i+1]=0,说明无论后面如何延伸,乘积都是0, d p 2 [ i ] = n u m s [ i ] dp2[i]=nums[i] dp2[i]=nums[i];如果 d p [ i + 1 ] < 0 dp[i+1]<0 dp[i+1]<0,向后延伸乘积会从负数变正数,因此有必要选择不向后延伸, d p 2 [ i ] = n u m s [ i ] dp2[i]=nums[i] dp2[i]=nums[i];如果 d p [ i + 1 ] > 0 dp[i+1]>0 dp[i+1]>0,向后延伸到乘积最大,乘上 n u m s [ i ] nums[i] nums[i]乘积就会最小,因此, d p 2 [ i ] = n u m s [ i ] × d p [ i + 1 ] dp2[i]=nums[i]\times dp[i+1] dp2[i]=nums[i]×dp[i+1]
int maxProduct(const vector<int>& nums){
int n=nums.size();
if(n==1) return nums[0];
else{
vector<int> dp1(n,0);
vector<int> dp2(n,0);
dp1[n-1]=nums[n-1];
dp2[n-1]=nums[n-1];
int maxprod = nums[n-1];
for(int i=n-2;i>=0;i--){
if(nums[i]==0){
dp1[i]=0;
dp2[i]=0;
}else if(nums[i]>0){
if(dp1[i+1]<=0) dp1[i]=nums[i];
else dp1[i]=nums[i]*dp1[i+1];
if(dp2[i+1]>0) dp2[i]=nums[i];
else dp2[i]=nums[i]*dp2[i+1];
}else{
if(dp2[i+1]<=0) dp1[i]=nums[i]*dp2[i+1];
else dp1[i]=nums[i];
if(dp1[i+1]<=0) dp2[i]=nums[i];
else dp2[i]=nums[i]*dp1[i+1];
}
maxprod=max(maxprod,dp1[i]);
}
return maxprod;
}
}
整个动态规划的过程只用到了 d p 1 [ i + 1 ] dp1[i+1] dp1[i+1]和 d p 2 [ i + 1 ] dp2[i+1] dp2[i+1],因此,可以将空间复杂度优化到 O ( 1 ) O(1) O(1)
int maxProduct(const vector<int>& nums){
int n=nums.size();
if(n==1) return nums[0];
else{
int dp1=nums[n-1];
int dp2=nums[n-1];
int maxprod = nums[n-1];
for(int i=n-2;i>=0;i--){
if(nums[i]==0){
dp1=0;
dp2=0;
}else if(nums[i]>0){
int tmp1=dp1;
int tmp2=dp2;
if(tmp1<=0) dp1=nums[i];
else dp1=nums[i]*tmp1;
if(tmp2>0) dp2=nums[i];
else dp2=nums[i]*tmp2;
}else{
int tmp1=dp1;
int tmp2=dp2;
if(tmp2<=0) dp1=nums[i]*tmp2;
else dp1=nums[i];
if(tmp1<=0) dp2=nums[i];
else dp2=nums[i]*tmp1;
}
maxprod=max(maxprod,dp1);
}
return maxprod;
}
}
1567. 乘积为正数的最长子数组长度
受到上一题的启发, d p 1 [ i ] dp1[i] dp1[i]表示以 n u m s [ i ] nums[i] nums[i]为开头的最长乘积为正的子数组, d p 2 [ i ] dp2[i] dp2[i]为以 n u m s [ i ] nums[i] nums[i]为开头的最长乘积为负的子数组,动态规划递归方程如下:
如果 n u m s [ i ] = 0 nums[i]=0 nums[i]=0,那么无论如何相乘后面乘积都是0, d p 1 [ i ] = d p 2 [ i ] = 0 dp1[i]=dp2[i]=0 dp1[i]=dp2[i]=0
如果 n u m s [ i ] > 0 nums[i]>0 nums[i]>0,那么 d p 1 [ i ] = d p 1 [ i + 1 ] + 1 , d p 2 [ i ] = d p 2 [ i + 1 ] + 1 dp1[i]=dp1[i+1]+1,dp2[i]=dp2[i+1]+1 dp1[i]=dp1[i+1]+1,dp2[i]=dp2[i+1]+1
如果 n u m s [ i ] < 0 nums[i]<0 nums[i]<0,那么 d p 1 [ i ] = 1 + d p 2 [ i + 1 ] , d p 2 [ i + 1 ] = d p 1 [ i + 1 ] + 1 dp1[i]=1+dp2[i+1],dp2[i+1]=dp1[i+1]+1 dp1[i]=1+dp2[i+1],dp2[i+1]=dp1[i+1]+1
需要注意的是:有一个边界条件就是 d p 1 [ i + 1 ] = d p 2 [ i + 1 ] = 0 dp1[i+1]=dp2[i+1]=0 dp1[i+1]=dp2[i+1]=0,此时如果 n u m s [ i ] > 0 , d p 1 [ i ] = 1 , d p 2 [ i ] = 0 nums[i]>0,dp1[i]=1,dp2[i]=0 nums[i]>0,dp1[i]=1,dp2[i]=0,如果 n u m s [ i ] < 0 , d p 1 [ i ] = 0 , d p 2 [ i ] = 1 nums[i]<0,dp1[i]=0,dp2[i]=1 nums[i]<0,dp1[i]=0,dp2[i]=1
时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n),空间复杂度可以优化至 O ( 1 ) O(1) O(1)
int getMaxLen(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
if(n==1) return (nums[0]>0)?1:0;
else{
vector<int> dp_positive(n,0);
vector<int> dp_negative(n,0);
dp_positive[n-1] = (nums[n-1]>0)?1:0;
dp_negative[n-1] = (nums[n-1]<0)?1:0;
int maxLen = (nums[n-1]>0)?1:0;
for(int i=n-2;i>=0;i--){
if(nums[i]>0){
dp_positive[i] = dp_positive[i+1]+1;
dp_negative[i] = (dp_negative[i+1]>0)?(dp_negative[i+1]+1):0;
}else if(nums[i]==0){
dp_positive[i] = 0;
dp_negative[i] = 0;
}else{
dp_positive[i] = (dp_negative[i+1]>0)?(dp_negative[i+1]+1):0;
dp_negative[i] = dp_positive[i+1]+1;
}
maxLen = (maxLen>dp_positive[i])?maxLen:dp_positive[i];
}
return maxLen;
}
}
优化空间复杂度:
int getMaxLen(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
if(n==1) return (nums[0]>0)?1:0;
else{
int dp_positive = (nums[n-1]>0)?1:0;
int dp_negative = (nums[n-1]<0)?1:0;
int maxLen = (nums[n-1]>0)?1:0;
for(int i=n-2;i>=0;i--){
int tmp1 =dp_positive;
int tmp2 =dp_negative;
if(nums[i]>0){
dp_positive = tmp1+1;
dp_negative = (tmp2>0)?(tmp2+1):0;
}else if(nums[i]==0){
dp_positive = 0;
dp_negative = 0;
}else{
dp_positive = (tmp2>0)?(tmp2+1):0;
dp_negative = tmp1+1;
}
maxLen = (maxLen>dp_positive)?maxLen:dp_positive;
}
return maxLen;
}
}
标签:dp2,dp1,nums,int,数组,动态,规划,dp 来源: https://blog.csdn.net/weixin_43868339/article/details/122838415