一些式子

数学菜狗啥也不会，只好把看到的一些有用的柿子赶紧写下来，不然就忘了。

不定期更新。

幂次变斯特林数

\[\large m^n = \sum_{i = 0}^{\min(n,m)} \begin{Bmatrix} n \\i\end{Bmatrix} \binom{m}{i} i! \]

其中 \(\begin{Bmatrix} n \\i\end{Bmatrix}\) 是第二类斯特林数。

证明 ：

看十二重计数法

从组合意义考虑，\(m^n\) 是 \(n\) 个互不相同球放进 \(m\) 个互不相同盒子的方案数（允许有空盒）。

然后 \(\dbinom{m}{i} i!\) 可以理解为 \(m\) 个互不相同盒子选出 \(i\) 个的方案。

枚举多少个盒子是空着的，然后乘以表示分为非空子集方案数的第二类斯特林数得到总方案数。

证毕。

学长的组合数恒等式博客

\(\texttt{Link.}\)

标签：begin,盒子,斯特林,end,Bmatrix,互不,一些,式子
来源： https://www.cnblogs.com/AstatineAi/p/some-equations.html