高等数学考研笔记（四）
作者：互联网
微分学（下）：
高等数学考研笔记（四）：微分学（下）
-
偏导数：
- 定义：函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在
P
0
(
x
0
,
y
0
)
P_0(x_0,y_0)
P0(x0,y0)的邻域内有定义，固定
y
=
y
0
y=y_0
y=y0，得到一元函数
f
(
x
,
y
0
)
f(x,y_0)
f(x,y0)，若
f
(
x
,
y
0
)
f(x,y_0)
f(x,y0)在x0处可导，则：
f x ′ ( x 0 , y 0 ) = ∂ z ∂ x ( x 0 , y 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f'_x(x_0,y_0)=\cfrac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \cfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} fx′(x0,y0)=∂x∂z(x0,y0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)
称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)点对x的偏导数；若对x,y的偏导数都存在，则称该函数可偏导；
⇒ \Rightarrow ⇒ 偏导数乘以任意增量 Δ x \Delta x Δx叫做函数对 x x x的偏微分；
⇒ \Rightarrow ⇒ 高阶偏导数的定义可类比高阶导数的定义推广；
⇒ \Rightarrow ⇒ 偏导运算法则同一元函数导数运算法则，特别地，复合函数求偏导也遵循链式法则；
⇒ \Rightarrow ⇒ 对于多元函数而言，可偏导不一定连续，连续也不一定可偏导；
⇒ \Rightarrow ⇒ 若二阶混合偏导数 f x y ′ ′ ( x , y ) f''_{xy}(x,y) fxy′′(x,y)和 f y x ′ ′ ( x , y ) f''_{yx}(x,y) fyx′′(x,y)在 ( x , y ) (x,y) (x,y)均连续，则 f x y ′ ′ ( x , y ) = f y x ′ ′ ( x , y ) f''_{xy}(x,y) = f''_{yx}(x,y) fxy′′(x,y)=fyx′′(x,y)，即混合偏导数与求导顺序无关；
⇒ \Rightarrow ⇒ 设n元函数 f f f在开区域 D D D中存在一切可能的 ( k − 1 ) (k-1) (k−1)阶偏导数和一切的 k k k阶混合偏导数，且所有这些导数在 D D D中连续，则任一k阶混合偏导数与求导次序无关；
- 定义：函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在
P
0
(
x
0
,
y
0
)
P_0(x_0,y_0)
P0(x0,y0)的邻域内有定义，固定
y
=
y
0
y=y_0
y=y0，得到一元函数
f
(
x
,
y
0
)
f(x,y_0)
f(x,y0)，若
f
(
x
,
y
0
)
f(x,y_0)
f(x,y0)在x0处可导，则：
-
全微分：
-
定义：若函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在(x,y)的某邻域内有定义，且在(x,y)的全增量：
Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)
可表示为：
Δ z = ∂ f ∂ x Δ x + ∂ f ∂ y Δ y + o ( ρ ) , ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \Delta z = \cfrac{\partial f}{\partial x}\Delta x + \cfrac{\partial f}{\partial y}\Delta y + o(\rho), \rho = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} Δz=∂x∂fΔx+∂y∂fΔy+o(ρ),ρ=(Δx)2+(Δy)2
则称函数f(x,y)在(x,y)处可微，且 A Δ x + B Δ y A\Delta x + B\Delta y AΔx+BΔy称为函数f(x,y)在(x,y)处的全微分，记作：
d z = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y dz = \cfrac{\partial f}{\partial x}d x + \cfrac{\partial f}{\partial y}d y dz=∂x∂fdx+∂y∂fdy
⇒ \Rightarrow ⇒ 全微分运算法则同一元函数微分运算法则，特别地，复合函数求全微分也遵循链式法则；
⇒ \Rightarrow ⇒ 一阶全微分同样遵循微分形式不变性； -
可微的条件：
- 函数连续（必要不充分）；
- 函数可偏导（必要不充分）；
- 函数的偏导数连续（充分不必要，此时称函数连续可微）；
-
高阶全微分展开法则：
d n ( z ) = ( ∂ ∂ x d x + ∂ ∂ y d y ) n f ( x , y ) d^n(z) = (\cfrac{\partial}{\partial x}dx+\cfrac{\partial}{\partial y}dy)^nf(x,y) dn(z)=(∂x∂dx+∂y∂dy)nf(x,y)
-
-
方向导数：
-
定义：设函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)的某领域 U U U内有定义，向量余弦 l = ( c o s α , c o s β , c o s γ ) l=(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma) l=(cosα,cosβ,cosγ)，则 ∀ P ∈ U \forall P\in U ∀P∈U，使得 P 0 P / / l P_0P // l P0P//l，若
∂ f ∂ l ( P 0 ) = lim P → P 0 f ( P ) − f ( P 0 ) ∣ P 0 P ∣ = f x ′ c o s α + f y ′ c o s β + f z ′ c o s γ = g r a d f ⋅ l \cfrac{\partial f}{\partial l}(P_0)=\lim\limits_{P\rightarrow P_0} \cfrac{f(P)-f(P_0)}{|P_0P|} = f'_x cos\alpha+f'_y cos\beta+f'_z cos\gamma = gradf\cdot l ∂l∂f(P0)=P→P0lim∣P0P∣f(P)−f(P0)=fx′cosα+fy′cosβ+fz′cosγ=gradf⋅l
存在，则称其为函数 f f f在 P 0 P_0 P0处沿着方向 l l l的方向导数； -
方向导数的存在条件：
⇒ \Rightarrow ⇒ 可微是方向导数存在的充分不必要条件；
⇒ \Rightarrow ⇒ 函数可偏导，则沿坐标轴方向的方向导数一定存在；
⇒ \Rightarrow ⇒ 沿任何方向的方向导数存在，函数不一定可偏导（偏导数包含与坐标轴平行的两个相反方向的方向导数并要求其相等）；
-
-
极值/最值求解：
-
一元函数极值的求解：
⇒ \Rightarrow ⇒ 必要条件：极值点只能在导数等于0的点 x 0 x_0 x0（称静止点/稳定点/驻点）或导数不存在的点的横坐标；
⇒ \Rightarrow ⇒ 充分条件1：若 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0的某一领域内有限导数，在各自侧面保持着自己的导数符号不变，则当两侧导数符号异号时， x 0 x_0 x0为极值点；
⇒ \Rightarrow ⇒ 充分条件2：若 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处存在n阶导数，则在各阶导数中，若第一个非零的导数是偶数阶，则 x 0 x_0 x0是极值点（小于零是极大值，大于零是极小值）；若第一个非零的导数是奇数阶，则 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)是拐点（小于零是左凹右凸，大于零是左凸右凹）；
⇒ \Rightarrow ⇒ 注意：只有拐点是坐标点，其余点（驻点/极值点/零点）都仅指横坐标；
-
一元函数最值的比较求解法：
比较所有的“可疑极值点”（包括驻点、不可求导点，以及边界点），其中的最大/小数，即为最大/小值；
-
二元函数极值的求解：
⇒ \Rightarrow ⇒ 必要条件：极值点处对x,y的偏导数均为0；⇒ \Rightarrow ⇒ 充分条件：
-
多元函数 f ( x 1 , x 2 , . . , x n ) f(x_1,x_2,..,x_n) f(x1,x2,..,xn)的 H e s s a n Hessan Hessan矩阵定义如下：
H = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 x 2 . . . ∂ 2 f ∂ x 1 x n ∂ 2 f ∂ x 2 x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 . . . ∂ 2 f ∂ x 2 x n . . . . . . . . . . . . ∂ 2 f ∂ x n x 1 ∂ 2 f ∂ x n x 2 . . . ∂ 2 f ∂ x n 2 ] H = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2x_n} \\ ...&...&...&...\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_nx_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_nx_2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \\ \end{matrix} \right] H=⎣⎢⎢⎢⎢⎡∂x12∂2f∂x2x1∂2f...∂xnx1∂2f∂x1x2∂2f∂x22∂2f...∂xnx2∂2f............∂x1xn∂2f∂x2xn∂2f...∂xn2∂2f⎦⎥⎥⎥⎥⎤ -
当多元函数在某点的 H e s s a n Hessan Hessan矩阵是正定矩阵时，在该点取得极小值；
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当多元函数在某点的 H e s s a n Hessan Hessan矩阵是负定矩阵时，在该点取得极大值；
-
当多元函数在某点的 H e s s a n Hessan Hessan矩阵是不定矩阵时，在该点没有极值；
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当多元函数在某点的 H e s s a n Hessan Hessan矩阵是半正定/半负定矩阵时，无法判断；
-
-
多元函数最值的比较求解法：
- 比较所有的“可疑极值点”（包括驻点、不可偏导点(内部点)，以及边界点），其中的最大/小数，即为最大/小值；
- 对于实际应用问题，若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)可能取得极值的点唯一，并根据问题本身知道所求最值存在，则该唯一极值点就是最值点；
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条件极值的拉格朗日乘数法：
函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)满足约束方程 ϕ ( x , y , z ) = 0 \phi(x,y,z)=0 ϕ(x,y,z)=0的条件极值，令拉格朗日函数：
F ( x , y , z , λ ) = f ( x , y , z ) + λ ϕ ( x , y , z ) F(x,y,z,\lambda) = f(x,y,z)+\lambda\phi(x,y,z) F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λϕ(x,y,z)
满足下列方程组：
{ F ′ x = f x ′ + λ ϕ x ′ = 0 F ′ y = f y ′ + λ ϕ y ′ = 0 F ′ z = f z ′ + λ ϕ z ′ = 0 F λ ′ = ϕ = 0 \begin{cases} F'x = f'_x+\lambda\phi'_x = 0\\ F'y = f'_y+\lambda\phi'_y = 0\\ F'z = f'_z+\lambda\phi'_z = 0\\ F'_{\lambda} = \phi = 0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧F′x=fx′+λϕx′=0F′y=fy′+λϕy′=0F′z=fz′+λϕz′=0Fλ′=ϕ=0⇒ \Rightarrow ⇒ 其中 λ \lambda λ称拉格朗日乘数；
⇒ \Rightarrow ⇒ 对于含n个约束方程的条件极值，需要n个拉格朗日乘数；
-
-
雅可比矩阵/行列式：
-
定义：设有m个n元函数组成的函数组：
{ y 1 = f 1 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) y 2 = f 2 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) . . . y m = f m ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) \begin{cases} y_1 = f_1(x_1,x_2,...,x_n) &\\ y_2 = f_2(x_1,x_2,...,x_n) &\\ ...&\\ y_m = f_m(x_1,x_2,...,x_n) &\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y1=f1(x1,x2,...,xn)y2=f2(x1,x2,...,xn)...ym=fm(x1,x2,...,xn)则其雅可比矩阵为以下 m × n m\times n m×n矩阵：
J = [ δ f 1 δ x 1 δ f 1 δ x 2 . . . δ f 1 δ x n δ f 2 δ x 1 δ f 2 δ x 2 . . . δ f 2 δ x n . . . . . . . . . . . . δ f m δ x 1 δ f m δ x 2 . . . δ f m δ x n ] J = \left[ \begin{matrix} \frac{\delta f_1}{\delta x_1} & \frac{\delta f_1}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_1}{\delta x_n} \\ \frac{\delta f_2}{\delta x_1} & \frac{\delta f_2}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_2}{\delta x_n} \\ ...&...&...&...\\ \frac{\delta f_m}{\delta x_1} & \frac{\delta f_m}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_m}{\delta x_n} \\ \end{matrix} \right] J=⎣⎢⎢⎢⎡δx1δf1δx1δf2...δx1δfmδx2δf1δx2δf2...δx2δfm............δxnδf1δxnδf2...δxnδfm⎦⎥⎥⎥⎤
⇒ \Rightarrow ⇒ 若 m = n m = n m=n，则雅可比矩阵对应的行列式称雅可比行列式：
∣ J ∣ = ∣ δ f 1 δ x 1 δ f 1 δ x 2 . . . δ f 1 δ x n δ f 2 δ x 1 δ f 2 δ x 2 . . . δ f 2 δ x n . . . . . . . . . . . . δ f n δ x 1 δ f n δ x 2 . . . δ f n δ x n ∣ = D ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) D ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) |J|= \left| \begin{matrix} \frac{\delta f_1}{\delta x_1} & \frac{\delta f_1}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_1}{\delta x_n} \\ \frac{\delta f_2}{\delta x_1} & \frac{\delta f_2}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_2}{\delta x_n} \\ ...&...&...&...\\ \frac{\delta f_n}{\delta x_1} & \frac{\delta f_n}{\delta x_2} & ... & \frac{\delta f_n}{\delta x_n} \\ \end{matrix} \right| = \frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(x_1,x_2,...,x_n)} ∣J∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣δx1δf1δx1δf2...δx1δfnδx2δf1δx2δf2...δx2δfn............δxnδf1δxnδf2...δxnδfn∣∣∣∣∣∣∣∣∣=D(x1,x2,...,xn)D(y1,y2,...,yn) -
雅可比行列式的复合函数组性质：
-
第一性质（由一元复合函数求导性质 d y d x ⋅ d x d t = d y d t \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt} dxdy⋅dtdx=dtdy推广）：
设有两组函数组：
{ y 1 = f 1 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) y 2 = f 2 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) . . . y n = f n ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) \begin{cases} y_1 = f_1(x_1,x_2,...,x_n) &\\ y_2 = f_2(x_1,x_2,...,x_n) &\\ ...&\\ y_n = f_n(x_1,x_2,...,x_n) &\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y1=f1(x1,x2,...,xn)y2=f2(x1,x2,...,xn)...yn=fn(x1,x2,...,xn) { x 1 = g 1 ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) x 2 = g 2 ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) . . . x n = g n ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) \begin{cases} x_1 = g_1(t_1,t_2,...,t_n) &\\ x_2 = g_2(t_1,t_2,...,t_n) &\\ ...&\\ x_n = g_n(t_1,t_2,...,t_n) &\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1=g1(t1,t2,...,tn)x2=g2(t1,t2,...,tn)...xn=gn(t1,t2,...,tn)则有：
D ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) D ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ⋅ D ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) D ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) = D ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) D ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) \frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(x_1,x_2,...,x_n)}\cdot \frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(t_1,t_2,...,t_n)} = \frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(t_1,t_2,...,t_n)} D(x1,x2,...,xn)D(y1,y2,...,yn)⋅D(t1,t2,...,tn)D(x1,x2,...,xn)=D(t1,t2,...,tn)D(y1,y2,...,yn)
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第二性质（由多元复合函数求全导链式法则 d y d t = ∑ δ y δ x i ⋅ δ x i δ t \frac{dy}{dt}=\sum\frac{\delta y}{\delta x_i}\cdot \frac{\delta x_i}{\delta t} dtdy=∑δxiδy⋅δtδxi推广）：
设有两组函数组：
{ y 1 = f 1 ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) y 2 = f 2 ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) . . . y n = f n ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) \begin{cases} y_1 = f_1(x_1,x_2,...,x_m) &\\ y_2 = f_2(x_1,x_2,...,x_m) &\\ ...&\\ y_n = f_n(x_1,x_2,...,x_m) &\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧y1=f1(x1,x2,...,xm)y2=f2(x1,x2,...,xm)...yn=fn(x1,x2,...,xm) { x 1 = g 1 ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) x 2 = g 2 ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) . . . x m = g m ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) \begin{cases} x_1 = g_1(t_1,t_2,...,t_n) &\\ x_2 = g_2(t_1,t_2,...,t_n) &\\ ...&\\ x_m = g_m(t_1,t_2,...,t_n) &\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1=g1(t1,t2,...,tn)x2=g2(t1,t2,...,tn)...xm=gm(t1,t2,...,tn) 则有：
D ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) D ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) = ∑ i 1 , i 2 , . . . , i n D ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) D ( x i 1 , x i 2 , . . . , x i n ) ⋅ D ( x i 1 , x i 2 , . . . , x i n ) D ( t 1 , t 2 , . . . , t n ) \frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(t_1,t_2,...,t_n)} = \sum_{i_1,i_2,...,i_n}\frac{D(y_1,y_2,...,y_n)}{D(x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_n})} \cdot \frac{D(x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_n})}{D(t_1,t_2,...,t_n)} D(t1,t2,...,tn)D(y1,y2,...,yn)=i1,i2,...,in∑D(xi1,xi2,...,xin)D(y1,y2,...,yn)⋅D(t1,t2,...,tn)D(xi1,xi2,...,xin) ⇒ \Rightarrow ⇒ i 1 , i 2 , . . . i n i_1,i_2,...i_n i1,i2,...in表示从 m ( m ≥ n ) m(m\geq n) m(m≥n)中取出 n n n个数的一切可能组合；
-
-
隐函数：
1）一元定义：若函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)是由函数方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y) = 0 F(x,y)=0所确定的，就称其为隐函数（不一定可以解出 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的解析式，n元定义和函数方程组定义可类比）；
2）隐函数存在定理：
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一元函数：设隐函数 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)的领域G内满足：
① 函数F在G上连续可微；
② F ( P 0 ) = F ( x 0 , y 0 ) = 0 F(P_0)=F(x_0,y_0)=0 F(P0)=F(x0,y0)=0；
③ F y ′ ( P 0 ) ≠ 0 F_y'(P_0)\neq 0 Fy′(P0)=0；
则存在唯一的函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)和 x 0 x_0 x0的邻域I使得：
① F ( x , f ( x ) ) = 0 F(x,f(x))=0 F(x,f(x))=0；
② f ( x 0 ) = y 0 f(x_0) = y_0 f(x0)=y0；
③ f f f连续可微，且当 x ∈ I x\in I x∈I时有：
f ′ ( x ) = − F x ′ F y ′ f'(x) = - \cfrac{F'_x}{F'_y} f′(x)=−Fy′Fx′ -
二元函数：设隐函数 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)的领域G内满足：
① 函数F在G上连续可微；
② F ( P 0 ) = F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 F(P_0)=F(x_0,y_0,z_0)=0 F(P0)=F(x0,y0,z0)=0；
③ F z ′ ( P 0 ) ≠ 0 F_z'(P_0)\neq 0 Fz′(P0)=0；
则存在唯一的函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)和 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的邻域I使得：
① F ( x , y , f ( x , y ) ) = 0 F(x,y,f(x,y))=0 F(x,y,f(x,y))=0；
② f ( x 0 , y 0 ) = z 0 f(x_0,y_0) = z_0 f(x0,y0)=z0；
③ f f f连续可微，且当 ( x , y ) ∈ I (x,y)\in I (x,y)∈I时有：
∂ f ∂ x = − F x ′ F z ′ , ∂ f ∂ y = − F y ′ F z ′ \cfrac{\partial f}{\partial x} = -\cfrac{F'_x}{F'_z},\cfrac{\partial f}{\partial y} = -\cfrac{F'_y}{F'_z} ∂x∂f=−Fz′Fx′,∂y∂f=−Fz′Fy′ -
二元函数组：设隐函数组 F ( x , y , u , v ) = 0 , H ( x , y , u , v ) = 0 F(x,y,u,v)=0,H(x,y,u,v)=0 F(x,y,u,v)=0,H(x,y,u,v)=0在点 P 0 ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) P_0(x_0,y_0,u_0,v_0) P0(x0,y0,u0,v0)的领域G内满足：
① 函数F,H在G上连续可微；
② F ( P 0 ) = H ( P 0 ) = 0 F(P_0)=H(P_0)=0 F(P0)=H(P0)=0；
③ D ( F , H ) D ( u , v ) ≠ 0 \cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}\neq 0 D(u,v)D(F,H)=0；
则存在唯一的一组函数 u = u ( x , y ) , v = v ( x , y ) u=u(x,y),v=v(x,y) u=u(x,y),v=v(x,y)和 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的邻域I使得：
① F ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) = H ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) = 0 F(x,y,u(x,y),v(x,y))=H(x,y,u(x,y),v(x,y))=0 F(x,y,u(x,y),v(x,y))=H(x,y,u(x,y),v(x,y))=0；
② u ( x 0 , y 0 ) = u 0 , v ( x 0 , y 0 ) = v 0 u(x_0,y_0) = u_0,v(x_0,y_0) = v_0 u(x0,y0)=u0,v(x0,y0)=v0；
③ u , v u,v u,v连续可微，且当 ( x , y ) ∈ I (x,y)\in I (x,y)∈I时有：
∂ u ∂ x = − D ( F , H ) D ( x , v ) D ( F , H ) D ( u , v ) , ∂ u ∂ y = − D ( F , H ) D ( y , v ) D ( F , H ) D ( u , v ) ∂ v ∂ x = − D ( F , H ) D ( u , x ) D ( F , H ) D ( u , v ) , ∂ v ∂ y = − D ( F , H ) D ( u , y ) D ( F , H ) D ( u , v ) \cfrac{\partial u}{\partial x} = -\cfrac{\cfrac{D(F,H)}{D(x,v)}}{\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}} ,\cfrac{\partial u}{\partial y} = -\cfrac{\cfrac{D(F,H)}{D(y,v)}}{\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}}\\ \cfrac{\partial v}{\partial x} = -\cfrac{\cfrac{D(F,H)}{D(u,x)}}{\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}} ,\cfrac{\partial v}{\partial y} = -\cfrac{\cfrac{D(F,H)}{D(u,y)}}{\cfrac{D(F,H)}{D(u,v)}}\\ ∂x∂u=−D(u,v)D(F,H)D(x,v)D(F,H),∂y∂u=−D(u,v)D(F,H)D(y,v)D(F,H)∂x∂v=−D(u,v)D(F,H)D(u,x)D(F,H),∂y∂v=−D(u,v)D(F,H)D(u,y)D(F,H)
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